向量及几何方法选修课学案.doc

§3.1.1空间向量及其运算 学习目标 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法； 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 学习指导 一、课前准备 （预习教材P84~ P86，找出疑惑之处） 复习1：平面向量基本概念： 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； ___________________叫单位向量. _______叫相反向量， 的相反向量记着 . ___________________叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ， 和 共三种方法. 复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算： 1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则和 法则. 2. 实数与向量的积： 实数λ与向量a的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝ . (2)当λ＞0时，λa与a. ； 当λ＜0时，λa与a. ； 当λ＝0时，λa＝ . 3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 合作探究 ※ 学习探究 探究任务一：空间向量的相关概念 问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？ 新知：空间向量的加法和减法运算： 空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中， ， ， 试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求. 2. 点C在线段AB上, 则 , . 反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？ ⑴加法交换律：a+ b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)； ⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb． 典型例题 例1 已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： 变式1：在上图中，用表示和. 变式2：已知体中点，化简下列表达式： ⑴ ; ⑵ ⑶ 小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例2 化简下列各式： ⑴ ; ⑵ ⑶ ⑷ . 变式：化简下列各式： ⑸ ; ⑹ ; ⑺ . 小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化. 总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量基本概念； 2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律 ※ 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移. 当堂检测 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 若∣∣=∣∣，则，的长度相同，方向相反或相同; B. 若与是相反向量，则∣∣=∣∣; C. 空间向量的加法不满足结合律; D. 在四边形ABCD中，一定有. 2. 长方体= 3. 在四边形ABCD中，若,则四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形已知平行六面体, M为AC与BD的交点，化简下列表达式： ⑴ ; ⑵ ; ⑶ ⑷ . ，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ） A. B. 或 C. D. ∣∣=∣∣ 3.判断正误： 1）空间任意两个单位向量必相等 （ ） 2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ( ) 3)若向量a与b的模相等，则a,b的方向相同或相反。 ( ) 4)在四边形ABCD中，必有 ( ) 4.在三棱柱ABC-ABC中，M,N分别