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简谐势阱中中性原子非线性薛定谔方程的定态解 闫珂柱　谭维翰 　　给出了非线性定态薛定谔方程(NLSE)数值求解的一般方法，并求解了简谐势阱中中性原子NLSE的基态和激发态解.讨论了NLSE的波函数收敛与归一化问题，并对计算精度进行了分析.　　1　引言 　　近几年来，玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)成为物理学的一个热点，这源于1995年三种碱金属原子(铷(87Rb)，钠(23Na)，锂(7Li))气体凝聚实验的实现［1—3］.它为这样一类体系特性的理论描述并提供了实验检验的基础.Einstein最早提出中性原子的凝聚是指自由中性原子在动量空间的凝聚，而上述三种碱金属原子的凝聚则是通过激光冷却、蒸发冷却磁阱中的原子而观察到的，其中铷与钠的散射长度a为正，当原子靠得很近时，表现出排斥作用，对于实现稳定的凝聚态是有利的，而锂原子的散射长度a为负，不利于实现稳定的凝聚态.有关的实验现象为对在势阱中中性原子实现BEC进行更为广泛而深入的理论探索提供了可能.情形确是如此，几乎与此同时就有关于磁阱中中性原子所满足非线性薛定谔方程(NLSE)，即Gross-Pitaevskii方程定态解的研究［4］，稍后不久又有NLSE非定态解的研究［5］，这些本应成为BEC研究的基础，但初步看来，该文似乎存在下一节中将提到的一些问题，计算步骤也的确复杂些.实际上文献［6］作者也已指出文献［4］的“方法不妥，结果可疑”.还有另外一个重要方面，即现在发表的NLSE的解主要是基态，对激发态则很少有报道，从全面理解BEC的形成和发展过程，对基态研究固然重要，对激发态研究也是不可缺少的，这对凝聚态的稳定性研究有重要意义.本文给出了求解NLSE的方法，讨论了NLSE波函数的收敛与归一化问题，并求解了简谐势阱中中性原子的NLSE的基态和激发态解，并对计算精度进行了分析. 　　2　NLSE与数值求解方法 　　在绝对温度T=0，稀薄玻色子气体的平均场理论是：凝聚体系的波函数满足Gross-Pitaevskii方程，即NLSE.对简谐势阱中的中性原子，这个方程有如下形式［4］： 　　　(1) 式中 Ψ(r,t)为BEC波函数，m为单原子质量，ωT为简谐势角频率，N为凝聚体的原子数，反映原子-原子间的相互作用，a为散射长度.　　为求定态解，设(μ为体系的化学势)，代入(1)式，可得Ψ(r)满足的方程为 　　　　　　(2) 对球对称的s波函数，方程(2)可以简化，采用没有相互作用情形简谐振子基态长度单位和谐振子能量单位进行归一化，令 　　　　　(3) 注意到 　　　　　　　　　　　(4) 式中 　　　　　　　　　　　　　　　　(5) 与文献［5］的非线性常数一致.于是由(2)—(4)式得 　　　　　　　　　　(6) 归一化条件为 　　　　　　　　　　　(7) 式中各量均为无量纲的，而(1)式中NU0等也包含在参量中.当时，(6)式就是简谐振子方程，其本征值考虑到在x→0附近应为有限的，n只能取奇数，n=1,3,5,7,…,n=1为基态，n=3,5,7，…为激发态.若不为零且给定后，β就是定态NLSE(6)的本征值，它的取值应能保证：(i)当x→∞时，Φ(x)→0;(ii)当x→0时，Ψ(x)∝是有限的.在x→0附近，Φ(x)可表示为 　　　　　　　　　　(8) 在实际数值求解(6)式时，将它写为两个一阶方程： 　　　　　　　(9) 参照(8)式得边值条件为　　(i) 当x→∞时 　　　　　　　　(10) 　　(ii) 在x→0附近 　　(11) 当Φ′(0)给定后，就可按Runge-Kutta方法由x=0到x→∞进行积分，若β选择不当，当x→∞时，方程(9)的积分是发散的，只有当β选择恰当时，才会使Φ(x)在x→∞时收敛于零.还要注意到，即使Φ(x)在x→∞时收敛于零，这时的Φ(x)也不一定满足归一化条件(7)式，为了满足归一化条件，还要适当选择边界值Φ′(0)；Φ′(0)与β并不存在文献［4］给定的关系式(这里NA2γ即我们方程中的参量)，因为解Φ(x)在x→∞处收敛于零并满足归一化条件就已将Φ′(0)与β完全确定了，就不可能满足如文献［4］给定的上述关系. 　　3　基态解 　　利用前面的方法计算了基态波函数和基态能量(本征值β1)，在实际计算中非线性参数的取值范围为0.1—150，略大于文献［5］的取值范围0.1—100.计算精度为eps=10-4，按(10)和(7)式，即 　　　　　　　　　　(12) 　　　　　　　　　　　　(13) 基态波函数的数值结果如图1所示，横坐标以谐振子基态长度为单位.可以看出：基态波函数的分布随的增大逐渐变宽为超高斯型，对=100进行数值拟合，其基态波函数近似为此时的波函数宽度为4.5谐振子基态长度单位.按文献［2］给出的实验参数，对N