3单步法的收敛性及稳定性.pptVIP

一、收敛性 /*Convergence*/ §3 单步法的收敛性、相容性和绝对稳定性 对于初值问题 的一种 单步法 产生的近似解，如果 对于任一固定的 ，均有 ， 则称该单步法是收敛的。 类似地可以定义隐式单步法、多步法（§4）的收敛性 设初值问题（*）对应的下列单步法是 阶的， 且函数 满足对 的Lipschitz条件，即存在常数 则该单步法是收敛的，且 证明： 记 由截断误差的定义 因为单步法是 阶的： 满足 其中 二、相容性 /*Consistency*/ 对于 阶方法： 若方法（**）的增量函数满足： 则称该方法与初值问题（*）相容。 设方法（**）与初值问题（*）相容，且 满足L-条件， 则该方法（**）是收敛的，即当 固定， 时 再由相容性得： 上式说明：当 时，方法（**）趋于原微分方程 本章讨论的数值方法都是与原初值问题相容的 三、绝对稳定性 /*Absolute Stibility*/ 计算过程中产生的舍入误差对计算结果的影响 首先以Euler公式为例，来讨论一下舍入误差的传播: 设实际计算得到的点 的近似函数值为 ， 其中 为精确值， 为误差 如果 ，则误差是不增的，故可认为是稳定的 例如： 对于初值问题 精确解为 而实际求解的初值问题为 精确解为 在 处的误差为 可见误差随着 的增加呈指数函数增长 如果初值问题为 精确解为 实际求解的初值问题为 精确解为 在 处的误差为 可见误差随着 的增加呈指数函数递减 当 时，微分方程是不稳定的； 而 时，微分方程是稳定的。 上面讨论的稳定性，与数值方法和方程中 有关 实验方程： 对单步法 应用实验方程， 如果 ，当 时，则称该 单步法是绝对稳定的，在复平面上复变量 满足 的区域，称为该单步法的绝对稳定域， 它与实轴的交集称为绝对稳定区间。 若单步法是 阶的，则 由实验方程可得： 例3：分别求Euler法和经典的R-K法的绝对稳定区间。 解： ? Euler公式： 将其应用于实验方程 绝对稳定域： 当 时， 绝对稳定区间： ?经典的R-K公式： 当 时， 绝对稳定区间： 可以证明： 存在唯一极小值点 由 得 例4：求梯形公式（隐式方法）的绝对稳定区间。 解： 梯形公式： 将其应用于实验方程 当 时， 绝对稳定区间： * 因为 * 因为