离散时间信号和系统分析基础.PPT

第二章 离散时间信号和系统分析基础 一、信号的取样 理想取样所得的取样信号 取样后频谱发生了两个变化： 乘以因子1/T； 出现无穷多个完全一样的频谱，即产生了周期延拓 频谱的混叠 二、取样定理 山农（Shannon）取样定理: 为了避免发生混叠现象，必须使 Ωs-Ωh≥Ωh，这样就得到一个很重要的不等式： Ωs ≥2Ωh 它指出取样频率必须大于原模拟信号频谱中最高频率的两倍。 一般取Ωs =（2.5~3）Ωh 三、折叠频率与奈奎斯特（Nyquist）频率 折叠频率Ωo的定义： Ωo= Ωs/2 是指当利用一个取样频率为Ωs或fs的离散时间系统进行信号处理时，该系统所能通过的信号频谱分量中的最高频率。 奈奎斯特频率： 信号中的最高频率Ωh §2-3 离散时间信号的表示及运算规则 一、序列的表示法 二、序列的运算规则及符号表示 因为X(z)的部分分式展开仅决定于X(z)的代数式，所以对所有三种情况都是一样的。针对X(z)的三种不同的收敛域：  情况1： 情况2： 情况3： 1. 线性特性 Z变换是一种线性变换，它满足叠加原理，即若有: Z［x(n)］=X(z) Rx-|z|R x+ Z［y(n)］=Y(z) Ry-|z|Ry+ 那么对于任意常数a、b，Z变换都能满足以下等式： Z［ax(n)+by(n)］=aX(z)+bY(z) Ｒ-|z|R+ (2-85) 通常两序列和的Z变换的收敛域为两个相加序列的收敛域的公共区域： R-=max(Rx-, Ry-) R+=min(Rx+, Ry+) 如果线性组合中某些零点与极点互相抵消， 则收敛域可能扩大。 §2-10 z变换的定理与性质 例 已知 x(n)=anu(n) y(n)=anu(n-N) 求x(n)-y(n)的Z变换。  解 由表1-1可知 又 序列及其傅里叶变换 表1-3 序列傅里叶变换的主要性质 表1-3 序列傅里叶变换的主要性质 表1-4 傅里叶变换对 一、逆Z变换公式 已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列的变换称为Z反变换，表示为 x(n)=Z-1［X(z)］ Z反变换的一般公式为 若 则 (2-74) §2-9 逆z变换 围线积分路径 1.留数定理解法（围线积分法） 这是求Z反变换的一种有用的分析方法。根据留数定理，若函数F(z)=X(z)zn-1在围线c以内有K个极点zk，而在c以外有M个极点zm（M、K为有限值），则有 (2-75) 二、逆z变换的三种常用方法 现在来讨论如何求X(z)zn-1在任一极点zr处的留数。  设zr是X(z)zn-1的单一（一阶）极点(即s=1)，则有 (2-77) 如果zr是X(z)zn-1的多重极点，如s阶极点，则有 (2-76) 例 已知 求Z反变换。 解 围线c以内包含极点a，如下图粗线所示。当n0时，在z=0处有一个-n阶极点。因此 收敛域|z||a| 式中，a是单阶极点。应用公式，则 在z=0处有一个-n阶极点（n0），应用公式(1-71)，则 因此 即 这个指数因果序列是单阶极点的反变换，这个反变换是很典型的，在以下的部分分式中还要用到这个结果。  实际上，由于收敛域在函数极点以外，并且包括∞点，因此可以知道该序列一定是因果序列。用留数法计算的结果也证实了这一点。所以，在具体应用留数法时，若能从收敛域判定序列是因果的，就可以不必考虑n0时出现的极点了， 因为它们的留数和一定总是零。  在应用留数法时，收敛域是很重要的。同一个函数X(z)， 若收敛域不同，则对应的序列就完全不同。例如，仍然以上面的函数为例，改变其收敛域， 可以看到结果完全不同。 例 已知 求Z反变换。 解 这时由于极点a处在围线c以外（见图1-30），所以当n0时围线c内无极点；而n0时只在z=0处有一个-n阶极点。因此 即 上例中，在n0时，也可用围线外极点a的留数来求，则有 即 从收敛域在函数极点所在圆以内，就能判断序列是左边序列，计算出来结果也证实了这个结论。 2. 幂级数展开法（按幂级数公式展开、长除法） 因为x(n)的Z变换定义为z-1的幂级