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第九章 混沌与分形 混沌 学习了牛顿力学后，往往会得到这样一种印象，或产生这样一种信念:物体受力已知的情况下，给定了初始条件，物体以后的运动情况（包括各时刻的位置和速度）。就完全定了，并且可预测了。这种认识被称作决定论的可预测性。验证这种认识的最简单例子是抛体运动。物体受的重力是已知的，一旦初始条件（抛出点的位置和抛出时速度）给定了，物体此后任何时刻的位置和速度也就决定了。物体在弹力作用下的运动也是这样，已知的力和初始条件决定了物体的运动。这两个例子中都可以写出严格的数学运动学方程，即解析解，从而使运动完全可以预测。 牛顿力学的这种决定论的可预测性，其威力曾扩及宇宙天体。1757年。哈雷慧星在预定的时间回归，1846年海王星在预言的方位上被发现，都惊人的证明了这种认识。这样的威力曾使伟大的法国数学家拉普拉斯夸下海口：给定宇宙的初始条件，我们就能预言它的未来。当今日蚀和月蚀的准确预测，宙宙探测器的成功发射与轨道设计，可以说是在较小范围内实现了拉普拉斯的壮语。牛顿力学在技术中得到了广泛的成功的应用。物理教科书中利用典型的例子对牛顿力学进行了定量的严格的讲解。这些都使得人们对自然现象的决定论的可预测性深信不疑。 但是，这种传统的思想信念在20世纪60年代遇到了严重的挑战。人门发现由牛顿力学支配的系统，虽然其运动是由外力决定的，但是在一定条件下，却是完全不能预测的。原来，牛顿力学显示出的决定论的可预测性，只是那些受力和位置或速度有线性关系的系统才具有的。这样的系统叫线性系统。牛顿力学严格地成功处理过的系统都是这种线性系统。对于受力复杂的非线性系统，情况就不同了。下面通过一个实际例子说明这一点。 决定论的不可预测性。用畅销名著《混沌——开创一门新科学》的作者格莱克的说法，蝴蝶效应指的是“今天在北京一只蝴蝶拍动一下翅膀，可能下月在纽约引起一场暴风雨。”下面是几个混沌实例。 1．天体运动的混沌现象 前已述及，三体问题，更不要说更多体的问题，不可能有解析解。对于这类问题，目前只能用计算机进行数值计算。现举一个简单的例子。两个质量相等的大天体M1和M2围绕它们的质心做圆周运动。选择它们在其中都静止的参考系来研究另一个质量很小的天体M3在它们的引力作用下的运动。计算机给出的在一定条件下M3运动的轨迹。M3的运动轨道是决定论的不可预测的，不可能知道何时M3绕M1运动或绕M2运动，也不能确定M3何时由M1附近转向M2附近。对现时太阳系中行星的运动，并未观察到这种混乱情况。这是因为各行星受的引力主要是太阳的引力。作为一级近似，它们都可以被认为是单独在太阳引力作用下运动而不受其它行星的影响。这样太阳系中行星的运动就可以视为两体问题而有确定的解析解。另一方面，也可以认为太阳系的年龄已够长以至初始的混沌运动已消失，同时年龄又没有大到各可能轨道分离到不可预测的程度。（顺便指出，人造宇宙探测器的轨道不出现混沌是因为随时有地面站或宇航员加以控制的缘故。）但是就在太阳系内，也真有在引力作用下的混沌现象发生。结合牛顿力学和混沌理论已证明，冥王星的运动以千万年为时间尺度是混沌的。（这一时间尺度虽比它的运行周期250年长得多，但比起太阳系的寿命——50亿年——要短得多了。）哈雷彗星运行周期的微小变动也可用混沌理论来解释。1994年7月苏梅克一列维9号彗星撞上木星这种罕见的太空奇观也很可能就是混沌运动的一种表现。 在太阳系内火星和木星之间分布有一个小行星带。其中的小行星的直径约在1km和1000km之间，它们都围绕太阳运行。由于它们离木星较近，而木星是最大的行星，所以木星对它们的引力不能忽略。木星对小行星运动的长期影响就可能引起小行星进入混沌运动。1985年有人曾对小行星的轨道运动进行了计算机模拟，证明了小行星的运动的确可能变得混沌，其后果是被从原来轨道中甩出，有的甚至可能最终被抛入地球大气层中成为流星。令人特别感兴趣的是美国的阿尔瓦莱兹曾提出一个理论：在6500万年前曾有一颗大的小行星在混沌运动中脱离小行星带而以104m／s的速度撞上地球（墨西哥境内现存有撞击后形成的大坑）。撞击时产生的大量尘埃遮天闭日，引起地球上的气候大变。大量茂盛的植物品种消失，也导致了以植物为食的恐龙及其它动物品种的灭绝。 2．生物界的混沌 混沌，由于其混乱，往往使人想到灾难。但也正是由于其混乱和多样性，它也提供了充分的选择机会，因此就有可能使得在走出混沌时得到最好的结果。生物的进化就是一个例子。 自然界创造了各种生物以适应各种自然环境，包括灾难性的气候突变。由于自然环境的演变不可预测，生物种族的产生和发展不可能有一个预先安排好的确定程序。自然界在这里利用了混乱来对抗不可预测的环境。它利用无序的突变产生出各种各样的生命形式来适应自然选择的需