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第七章 第七章 傅里叶变换(P123) §7.1傅里叶级数 1傅里叶级数 2复数形式的Fourier级数 §7.2傅里叶变换(P126) 1 傅里叶积分和傅里叶变换 2 傅里叶变换的基本性质 3 傅里叶变换和拉普拉斯变换的比较 2 傅里叶变换的基本性质 3 傅里叶变换和拉普拉斯变换的比较 思考与讨论题 吗？其中a为常数、t为参量. 作业：p146,147：7.1，7.2，7.4 §7.3多重傅里叶变换(P134) 作业 p146,147：7.1，7.2，7.4 * 基本内容：傅里叶级数，傅里叶积分变换及性质。 本章重点：傅里叶积分变换，它可用于求解常微 分方程和偏微分方程. 三维空间：基矢 正交: 完备：三维空间的任意矢量 1傅里叶级数 2复数形式的Fourier级数 几何空间基矢的正交完备性： 三角函数族 1.1正交、模平方关系 的正交性与完备性 1.2完备性 (1)处处连续或在每个周期中至多存在有限个第一类间断点， (2)在每个周期中至多存在有限个极值点（即每个周期只能 分成有限个单调区间），则 绝对且一致收敛于 以T为周期的函数f(t)若满足Dirichlet条件： 1.3讨论 1)若引用圆频率 ，则 物理意义：周期信号→分解为直流成分、基波(频率为 和各高次谐波（频率为 的迭加，谐波的振幅为 2)时间t→空间x，时间周期T→空间长度2 l,则 . . 正交完备的函数族: 正交模平方关系: 完备性: 2.1同实数形式傅里叶级数间的关系 ， ， . n次谐波的振幅为 2.2具有周期 和 的二元函数 的傅里叶级数 其中 此为双重傅里叶级数→可推广为更多重数的傅里叶级数. . 1 傅里叶积分和傅里叶变换 定义于(-∞，∞）上的非周期函数，满足条件：(ⅰ)在任何 有限区间上f(t)是分段光滑的，至多存在有限个第一类间断点； 存在，则有 的傅里叶积分(或傅 里叶变换的反演式) 的傅里叶变换 傅里叶变换 (ⅱ)积分 1)亦可取成 系数不对称 频率 波矢k 在量子力学中，若f(x)是微观粒子在在坐标空间的波函数，则 是微观粒子在动量空间的波函数. = = 的傅里叶积分 2) [例1]求原函数 解: [例2]求 的傅里叶积分表示 ∴ [例3]证明帕斯伐（Paseval）等式 证: = = 特例： ，则 解: 证毕. [例4]求 的像函数. = (其中用到了高斯积分公式 量子一维谐振子基态波函数： 动量空间 . 坐标空间 与Laplace变换性质 相似，按变换定义 不难证明 (2) (3)若 则 (4)若 ，则 (5) (1) (6) (7)若 则 (8)若 ，则 (9) (10) 注： ① f(x)积分式与变换式的对称形式决定了上述性质的对称： (1)、(2)自身，(3)与(7)，(4)与(8)，(5)与(9)，(6)与(10). 则上述性质中出现 的地方 如 ②若 [例5]在量子力学中，对于以能量E从金属表面发射出来并处于恒定 加速电场E0中的电子，设电子的质量和电荷各为m和-e, E0的方向 和x轴的取向如图所示，其运动服从如下的Schrodiger方程： 求电子的波函数 解:为简化方程的表达，引入如下的常数 l量纲为长度、λ量纲为常数. 引入新变量 则方程 显然： 满足 和 ，即 采用傅里叶变换 ， 为积分常数) 其中 而 称为艾里(Airy)函数. P133表7.1傅里叶变换 的原函数与像函数简表. 傅里叶变换 拉氏变换 1)对原函数的要求条件不同: 2)傅氏变换形式对称，变换性质与反演性质相似，而拉氏变换则 不对称. 有具体的物理意义： 是频率为 谐波振幅，用于频率谱分析， 则无直接的物理意义。 如tn：拉普拉斯变换条件满足, 而傅里叶变换条件不满足. 的 4) 可用于求解方程 3) 傅氏变换 1.何谓Fourier积分变换？它的存在条件是什么？ 2.Fourier积分变换有哪些基本性质？已知 你能利用Fourier积分变换的某些 性质求出 和 即: 其中 多重傅氏变换的性质与一重傅氏变换类似，如卷积定理： 其余不再一一列出. . [例1]求 的像函数(其中 解: 其中 . [例2]求 的像函数 (其中 解: 取 方向为 轴方向 , . ∴ 第二步用到了: 第四步用到了: 或分部积分或利用 对于时空四元函数 同样可有： . 若引入四维坐标 和动量 的标积, 则 *§7.4色散关系(P137) *§7.5小波变换的基本思想(P142) * * *