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角 平 分 线 尺规作图 线段的垂直平分线的性质 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理 线段的垂直平分线的作法 作业分析 * 你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 回顾 思考 1 如图,∵OC是∠AOB的平分线, P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个 角的两边距离相等). O C B 1 A 2 P D E 提示: 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. 逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离 相等的点,在这个角的平分线上. 如图, ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 是D,E, PD=PE,(已知), ∴点P在∠AOB的平分线上. (在一个角的内部,且到角的两边距离 相等的点,在这个角的平分线上). 提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上 (或直线经过某一点)的根据之一. O C B 1 A 2 P D E 几何的三种语言 我能行 1 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 用尺规作角的平分线 1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. 2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长 为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C. 3.作射线OC. 你能说明OC为什么是∠AOB的平分线吗？ 提示: 作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握. A B O C 则射线OC就是∠AOB的平分线. D E 做一做 作法: 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. A C B P M N 如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等). 回顾 思考 逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. A C B P M N 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上). 老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. 从这个结果出发,你还能联想到什么? 回顾 思考 已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法: 用尺规作线段的垂直平分线. 1.分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D. A B C D 2. 作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流. 老师提示: 因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点. 回顾 思考 角的平分线 O D E A B P C 定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理2：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 线段的垂直平分线 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线可以看作是和线段两上端点距离相等的所有点的集合 A B M N P 点的集合是一条射线 点的集合是一条直线 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P 到∠AOB的两边的距离相等. A B O ● D ● C 独立作业 2 作业分析 独立作业 2 E F G P ● 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？ 解：AP平分∠BAC． 结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等． 理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D． ∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上， ∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． 同理PF＝PE，∴PD＝PF． ∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）． 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等． 做一做 * * *