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第二章 控制系统的数学模型 引言 2.1 控制系统的微分方程 2.2 传递函数 2.3 控制系统的结构图及其等效变换 2.4 自动控制系统的传递函数 2.5 信号流图 2.6 脉冲响应函数 本章要求 - 输出量为： 1.给定输入作用下 --N(s)=0 2.扰动作用下的 --R(s)=0 - + 输出对扰动的传递函数为： 输出为： 3.给定输入和扰动输入同时作用下系统的总输出 - + 根据线性迭加原理： 三、闭环系统的偏差传递函数 偏差： - + B(s) 1.给定输入作用下 --N(s)=0 - 2.扰动作用下 --R(s)=0 + + 3.给定输入和扰动输入同时作用下系统的总偏差 总偏差： - + [提示]：各个传递函数Φ(s)、ΦN(s)、ΦE(s)、ΦNE(s)都具有相同的分母，分母称为控制系统的特征多项式。 (1)节点: 一、信号流图的有关符号及术语 “○” --表示系统中的一个变量(信号) (2)支路: 连接两节点的定向线段，箭头表示信号的传递方向 (3)传输(增益): --标注在支路旁的传递函数 1.符号 2.常用术语 源节点(输入节点)：只有输出支路而无输入支路的节点。 R C P E 1 G1 G2 1 Q -H N 1 阱节点(输出节点)：只有输入支路而无输出支路的节点。 混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。 通路：沿支路箭头所指方向穿过各相连支路的路径。 R C P E 1 G1 G2 1 Q -H N 1 前向通路：从源节点开始并且终止于阱节点，与其他节点相交不多于一次的通路。 前向通路增益(传输)：前向通路中各支路传输的乘积。 回路：如果通路的终点和起点是同一节点，并且它与任何其它节点相交次数不多于一次的闭合路径。 R C P E 1 G1 G2 1 Q -H N 1 回路增益(传输)：回路中各支路传输的乘积。 不接触回路：回路间没有任何公共节点。 3.信号流图的性质 1)信号流图适用于线性系统。 2)节点标志系统的变量。 3)支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换成另一个信号。 0 ζ 1 时，传递函数有一对共轭复数极点。 则: 当输入单位阶跃信号时： 拉氏反变换： [分析]：y(t)的上升过程是振幅按指数曲线衰减的正弦运动。与ζ有关。当ζ≥1时，曲线单调上升，无振荡。当0ζ1时，曲线衰减振荡。ζ越小，振荡越厉害。 单位阶跃响应曲线 y(t) t ζ≥1 0ζ1 0 极点分布图 Im Re 时域方程 5.微分环节 ---输出量与输入量的导数成正比 纯微分： 一阶微分： 二阶微分： 传递函数 微分环节没有极点，只有零点。分别是零、实数和一对共轭零点(若0ζ1)。在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。 一、动态结构图(方块图) 结构图--系统中各组成部分的功能和信号流向的图解表示，是一种图形化的数学模型。 1.结构图的组成 1)函数方块(环节) 表示对信号进行的数学变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。 函数方块具有运算功能。 2)信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的 传递方向，直线旁标记信号的时间函数 或象函数。 3)引出点(分支点) 表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号， 其性质、大小完全一样。 4)综合点(比较点、相加点) 1.用符号“?”及相应的信号箭头表示； 2.箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。 注意符号!! 相邻综合点可以互换、合并、分解 综合点可以有多个输入，但输出是唯一的!! 2.系统结构图的建立 确定各元件或环节的传递函数。 绘出各环节的动态方块图，方块图中标出其传递函数，并以箭头和字母标明其输入量和输出量。 根据信号在系统中的流向，依次将各方块图连接起来。 例：设一RC电路如图所示，列出电路的初始微分方程组。 解: R C ui uo + - + - i 取拉氏变换,得: - - 解： 例2:试绘制如图所示无源网络的结构图。 uo C i i1 i2 R1 R2 ui + - + - 由(1)式有 I2(s) I1(s) I(s) + 由(2)式变换 由(3)式有 R2 I(s) UO(s) Uo(s) Ui(s) I1(s) + - 由(4)式变换 R1 Cs I1(s) I2(s) Ui(s) UO(s) I1(s) I2(s) I(s) + - UO(s) R2 Cs R1 + 二、结构图的等效变换 定义：在结构图上进行数学方程的运算。 类型：(1)环节的合并； --串联 --并联