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第五章 控制系统的频率法分析 5.1 频率特性的基本概念 5.2 频率特性的几种表示方法 5.3 典型环节的频率特性 5.4 开环系统频率特性的绘制 5.5 奈魁斯特稳定判据 5.6 稳定裕度 5.7 利用开环频率特性分析系统 5.9 利用MATLAB绘制频率特性曲线 本章要求 一、幅角定理 1.辅助方程 开环传递函数： 闭环传递函数： 辅助方程： (1)F(s)的极点为开环传递函数的极点，F(s)的零点为闭环传递函数的极点； (2)分子、分母的阶次相等，零、极点个数相同； (3)F(s)与GK(s) 相差为1。 F(s)=1+GK(s)的几何意义： F(s)三个特点： F平面的坐标原点为GH平面的(-1,j0)点。 F(s)是复变量s的单值有理函数，可以证明： ①如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点d都可以在F(s)平面上找到一个相应的点d／，d／称为d在F(s)平面上的映射。 2.幅角定理(映射定理) (1)预备知识 ②对于s平面上任意给定的一条不通过F(s)任何奇异点的连续封闭曲线G ，也可以在F(s)平面上找到一条与之对应的封闭曲线G／。 s平面与F平面的映射关系 N0 G／逆时针包围原点； N0 G／顺时针包围原点； N=0 G／ 不包围原点。 (2)幅角定理 s平面上不通过F(s)任何奇点的封闭曲线G，它包围F(s) 在s平面上的Z个零点和P个极点，当s以顺时针方向沿封闭曲线G移动一周时，在F平面上相对应于封闭曲线G／将 绕原点旋转N圈。 N、Z、P的关系为：N=P-Z 二、奈魁斯特稳定判据 1.零型系统(不含s=0极点) (1)奈魁斯特路径 ⅰ--正虚轴s=jw ： ⅱ--半径为无穷大的右半圆s=Rejq ： ⅲ--负虚轴s=jw ： F(s)在虚轴上没有极点，按顺时针方向设计一条曲线G包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特路径(奈氏路径)。 G(jw)特性曲线 F平面上的封闭曲线 G 在F平面上的映射G／ ⅰ--和正虚轴对应的是辅助函数的频率特性F(jw)，相当于把GK(jw) 向右移1； ⅱ--和半径为无穷大的右半圆相对应的辅助函数F(s) →1； ⅲ--和负虚轴相对应的是辅助函数频率特性F(jw)对称于实轴的镜像。 ①F(jw)可由GK(jw)求得，而GK(jw)是开环频率特性，对应于映射曲线第ⅰ部分； ②F(s)对原点的包围，相当于GK(s)对(-1, j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与GK(s)对(-1, j0)点的包围的次数一样； ③F(s)的极点就是GK(s)的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是GK(s)在右半平面的极点数。 辅助方程与开环频率特性的关系 (2)奈魁斯特稳定判据 若系统的开环传递函数在右半平面上有P个极点，且开环频率特性曲线对(-1, j0)点包围的次数为N (N0逆时针，N0顺时针)，则闭环系统在右半平面的极点数为：Z=P-N 。若Z= 0，则闭环系统稳定，否则不稳定。 [例5-7]开环传递函数为： ，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。 在s右半平面的极点数P=0 绕(-1, j0)点的圈数N=0 闭环系统在右半平面的极点数 Z=P-N =0 闭环系统稳定 [例5-8]设开环系统传递函数为： ，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。 开环极点为-1，-1±j2 P=0 绕(-1, j0)点的圈数 N=-2 闭环系统不稳定 2.Ⅰ型以上系统(含s=0极点) s=0 GK(s)→∞ F(s)→0不解析 重构奈氏路径： i ii iii ⅳ s平面 ⅰ--正虚轴s=jw ： ⅱ--半径为无穷大的右半圆s=Rejq ： ⅲ --负虚轴s=jw ： ⅳ --半径为无穷小的右半圆s=R／ejq／： 无穷小的右半圆在GH平面上的镜像 Ⅰ型系统: 半径：∞ 角度： Ⅱ型系统: 半径：∞ 角度： [例5-10]设Ⅰ型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。 解： 先根据奈氏路径画出完整的映射曲线(Ⅰ型系统) 映射曲线顺时针包围(-1, j0)一圈，逆时针包围(-1, j0)一圈，所以：N=1-1=0。 P=0 Z=P-N=0 闭环系统稳定 [例5-11]某Ⅱ型系统的开环频率特性 如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定