3.数学建模-数据拟合法课件.pptVIP

§4. 常见的数学建模方法(1) --- 数据拟合（曲线拟合）法 ;（1）决定经验公式的形式 . 根据所描绘的系统固有的特点,参照 已知数据的图形和特点或者它应服从的规律来决定经验公式的 形式. 这一步是关键的一步. ; 最小二乘法 原理是：如果一组数据为： （ xi , yi ）, ( i = 0 , … , n ) ，它们在 X - Y 平面上是 n 个点 , 我们的问题就是能否寻找一条直线 y = k x + b , 使此直线与给定 的 n 个数据点 “靠” 得最近，或 “拟合” 得最佳？;肇物偿缓瞒厢怪须厚撩祥际第葱堆示翰椰佃傍豪掏课岂厌婶掌槐痪送针殆3.数学建模-数据拟合法课件3.数学建模-数据拟合法课件; 在决定经验公式的形式时, 大致思路是: a)???利用所研究系统的有关问题在理论上已有的结论, 来 确定经验公式的形式 . b)??在无现成理论情况下, 最简单的处理手段是用描图 的方法, 将数据点连成光滑曲线, 把它与已知函数 曲线进行比较, 找出与之比较接近的曲线. c)??如要考虑所建立的模型必要的逻辑性与理论价值 , 可利用合适的数学方法, 对所研究系统的有关问题 进行 定量化的机理分析 , 导出较为严密的数学公式.;实例1. 找出基于下列数据的铜棒长度 l 与温度 t 之间关系的经验公式 .; 最后检验该模型(经验公式):;实例2. 找出基于下列数据的油的粘度 y 与温度 x 之间关系的经验公式 .; 即得线性模型：Y = A + b X , 其中 A = lna , 而 ( X , Y ) 的数据为: （ ln x i , ln y i ）, ( i = 1 , … , 8 ) .;说明: 该例中的变量替换 方法运用,使得线性模型的最小二乘法公式 应用范围大大扩大. 常见的 非线性模型的变换方式 如下表所列:;实例 3. 某研究所为了研究三种肥料氮, 磷, 钾对于土豆和生菜的作用, 分别对每种作物进行了三组试验. 实验数据如下列表格所示, 其中 ha 表示公顷 , t 表示吨 , kg 表示千克. 试建立反映施肥量与产量关系的数学模型. ;施肥量;1. 磷施肥量 x 关于土豆产量 y 的情况 . ; 根据这个模型, 可以得到土豆的最高极限产量是43吨. 这个结论从 定性角度看, 与农业资料的结论是一致的, 即在一定的范围内 磷施肥量可以使土豆产量增长, 但 过多地施磷肥对土豆产量不起 作用. 在这一点上, 该模型是经得起实际检验的.;2 .磷施肥量 x 关于生菜产量 y 的情况 . ; 根据最小二乘法计算公式和统计数据, 先算得 a 和 k , 然后再算出 y0 . ; 在建立曲线拟合法的数学模型时,如果能尽量做一些 定量化的机理分析, 然后运用数学手段推导出合理的 数学模型, 则建模的效果会 更好一些.; 模型建立: ; 模型分析与模型决策: 当下列关系 y’(x0) = Tx / Ty ( Tx ,Ty 分别 为氮肥和生产作物的价格 ) 成立时, 投入一吨肥料得到的效益最大, 此时的施肥量即为最佳施肥量 ; 这是因为：; 实例 5. 利用例 3 的资料 , 建立生菜产量 y 依赖于磷施肥量 x 的数 学模型.;实例 6. 建立赛艇比赛成绩的模型 ( McMahon 模型 ) ; 建模目的: 寻求桨手数 n 与比赛成绩 t 之间的函数关系 t = t( n ) . ;建模过程： 总功率与阻力和速度的乘积成正比： 。; 根据以上 机理分析 ，可以认为有经验公式 ： ; 实例 7. 人口 Logistic 模型 ; 这是一个本质非线性模型, 无论使用怎样的变换, 都不能化为 线性模型. 为了用所给的统计数字通过 线性模型 的 最小二乘法 公式算出 r0 和 xm , 可以利用建模过程中的式 (*) 在单位时间 （ ⊿ t =1 ） 下的近似表示式: ; 由最小二乘法 , a = 0.31 , b = - 0.001574 . 故人口的具体 Logistic 模型 为:;这个模型求解前是：