§6.6 环(离散数学)课件.pptVIP

§6.6 环 ; 6.6.1 环 的 定 义;环的例;性质1 用数学归纳法，分配律可以推广如下： a（b1+…+bn）=(ab1) +…+(abn) ， （a1+…+am）b= (a1b)+…+(amb)， ;环 的 性 质;性质4 a（-b）= -（ab）， （-a）b = -（ab），（-a）（-b）=ab。 证明：由性质2，令c=0，即得 a（-b）= -（ab），（-a）b = -（ab）。 因此， （-a）（-b） =-((-a)b)= -（-（ab））=ab。 性质5 对任意整数m，都有 a（mb） = （ma）b = m（ab）。 ;性质6 am+n=aman，（am）n=amn。 性质7 在交换环中，有第三指数律： （ab）n=anbn。 性质8 在交换环中二项式定理成立： (a+b)n = an + nan-1b + an-2b2 + … + bn。 用数学归纳法证明. ;如果环R不只有一个元素而且有一个元素 1适合对任意a ? R， 1a = a1 = a 则称R为含壹环。 例. 整数环为含壹环，所有偶数在数的加法和乘法下作成的环不是含壹环。 ;性质9 含壹环R的壹是唯一确定的。 证明：若1、1′为R的两个壹，则1′=11′=1。 性质10 设环R有1，则1≠0。 证明：取a∈R,且a≠0,则a0=0,而a1=a,故1≠0。 性质11 任意环R均可扩充成一个含壹环R+。 证明：令R+={a+m| a∈R，m∈Z}。规定： （a+m）+（b+n）=（a+b）+（m+n）; （a+m）（b+n）=（ab+na+mb）+mn。 则R+为环，其壹为0+1。 ;定义. 若R是环,S是R的非空子集,若S在R的 加法和乘法下仍是环,则称S是R的子环。 结论：R本身以及{0}是R的两个平凡子环。 定理6.6.1 环R的子集S作成子环必要而且只要， （1）??S非空； （2）??若a∈S，b∈S，则a-b∈S; （3） 若a∈S，b∈S，则ab∈S。 ;对于环来说，若大环有壹，子环未必有壹. 如，整数环含1，但其子环偶数环不含1。 即使子环有壹，其壹未必与大环的壹一致. 见教材224页矩阵环的例子。 ;定义. 若R是环，a，b ∈ R，如果a≠0， b≠0，但ab=0，则称a，b为零因子。如 果R没有这样的元素，则说R无零因子。 无零因子的环称为消去环。 例. 整数环是消去环，矩阵环不是消去环， 有零因子。比如，;性质12 环R是消去环 iff R中消去律成立。 证明：必要性。如果a≠0,且ab = ac,那么 ab-ac = 0,即 a（b-c）= 0。因环R中无零因子, 而a≠0,故必有 b-c= 0，即b = c，因此，左消去 律成立，同理可证右消去律也成立。 充分性。设消去律成立，即由a≠0,ab = ac可 推出b = c。若ab=0,而a≠0,则ab = a0,因而由 消去律可得 b = 0。故R无零因子,R是消去环。 ;性质13 在消去环R中，不为0的元素在加法下的周期相同。 证明： (1) 若不为0的元素在加法下的周期都为0，则得证。 (2) 否则，R中存在非零元素a，a的周期不是0，设为m，即ma = 0。 任取R中非零元b， ; 则， a(mb) = (ma)b = 0b = 0， 又由a≠0，且R无零因子知，mb=0，所以b的周期不是0，设为n，则n|m。 另一方面，(na)b=a(nb)=a0= 0，又由b≠0,且R无零因子知，na=0。而a的周期为m,故m|n。 因此，m=n。 由b的任意性知，在消去环R中，不为0的元素在加法下的周期都与a的周期相同。 ;性质14 在消去环R中，不为0的元素在加法下的周期或为0或为质数。 证明：设a∈R，a≠0，且a的周期为n，故 na = 0。 (1)?? 若n=0，则得证。 (2)?? 否则，只需证n是质数。;用反证法。设n不是质数，则n = n1n2， 且n1≠1， n2≠1。故1n1 n，1n2n。 显然， n1a， n2a ∈ R，由a的周期为n知， n1 a≠0，n2a≠0。而 （n1 a）（n2a） = （n1 n2）（a a） = （na）a = 0 a = 0， 故n1 a，n2a为零因子，与R无零因子矛盾。 因此，原假设不对，n是质数。