三角恒等变换技巧及其应用.docVIP

三角恒等变换技巧及其应用一、技巧 1.变角 例1：求证：-2cos（α+β）= 证明：∵2α+β=α+β+α ∴sin（2α+β）-2cos（α+β）sinα =sin［（α+β）+α］-2cos（α+β）sinα =sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα-2cos（α+β）sinα =sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα =sin（α+β-α） =sinβ ∴-2cos（α+β）= 评析：“角”是三角函数的基本元素，研究三角恒等变换离不开“角”的变换.对单角、倍角、和角、差角等进行适当的变形转化，往往能起到化难为易、化繁为简的作用. 2.分类 例2：化简cos（-2x）+cos（+2x），其中k∈Z. 解析：（1）当k=4n（n∈Z）时， 原式=cos（2nπ-2x）+cos（2nπ+2x） =cos2x+cos2x =2cos2x （2）当k=4n+1（n∈Z）时， 原式=cos（2nπ+-2x）+cos（2nπ++2x） =cos（-2x）+cos（+2x） =sin2x-sin2x =0 （3）当k=4n+2（n∈Z）时， 原式=cos（2nπ+π-2x）+cos（2nπ+π+2x） =cos（π-2x）+cos（π+2x） =-cos2x-cos2x =-2cos2x （4）当k=4n+3（n∈Z）时， 原式=cos（2nπ+2π--2x）+cos（2nπ+2π-+2x） =cos（-2x）+cos（+2x） =-sin2x+sin2x =0 评析：不少三角恒等变换问题中，都含有特定的字母常数，对特定的字母或常数恰当地进行分类讨论，往往能帮助我们快速解题. 3.降次 例3：求使函数f（x）=sinx+cosx+sin4x-为正值的x的集合. 解析：f（x）=sinx+cosx+sin4x- =+cos4x+sin4x- =sin（4x+）+ 由sin（4x+）+＞0， 得sin（4x+）＞-，2kπ-＜4x+＜2kπ+， ∴-＜x＜+，k∈Z. 故使函数f（x）=sinx+cosx+sin4x-为正值的x的集合为{x|-＜x＜+，k∈Z}. 评析：对于某些含有高次（二次或二次以上）的问题，我们常常利用相关公式将高次三角式低次化，以达到解决问题的目的. 二、应用 1.求值 例4：已知sinα-sinβ=-，cosα-cosβ=，α、β为锐角，求：cos（α-β）的值. 解析：将sinα-sinβ=-及cosα-cosβ=两式平方后再相加，可得2-2（sinαsinβ+cosαcosβ）=，故cos（α-β）=. 2.证明 例5：已知A+B=45°，求证：（1+tanA）（1+tanB）=2. 证明：（1+tanA）（1+tanB）=1+tanAtanB+tanA+tanB =1+tanAtanB+tan（A+B）（1-tanAtanB） =1+tanAtanB+tan45°-tan45°tanAtanB =2 3.化简 例6：化简5sinα+cosα+2sin2α. 解析：由sinα=，cosα=，可得 原式=5×+×+2sin2α =2sin2α-2cos2α+3 =4（sin2α-cos2α）+3 =4sin（2α-）+3 1