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微积分与转动惯量 组长：陈玉书 组员：江源 陈佳慧 张学斐 张春宜 周天泽 蒋蕾 廖新浴(按姓氏笔画序) 指导教师：苏德矿 班级：求是科学班（食品安全与营养） 引言 大学物理与微积分有着密切的联系，微积分极限思想的应用在大学物理中体现得淋漓尽致。转动惯量是刚体力学中一个极为重要的物理量，正如物体的质量一样，它与物体的运动状态无关，是由物体和围绕运动的轴所共同决定的。计算转动惯量对于刚体动力学状态的研究具有重要的意义。而转动惯量的计算主要需要用到微积分中定积分的计算，但其思想又与常见的定积分略有区别。我们微积分教材上对这方面的介绍较为简略，而大学物理教材只是简单地给出了几个基本公式，我认为这个推导过程还是值得思考的。 刚体的定轴转动定律：r×F=J×β 其中r为距离，F为力，J为转动惯量，β为刚体的角加速度，这样就把一般物体运动学定律推广到了刚体的转动。由此可以说明转动惯量的重要性。 转动惯量的基本公式：J=∑Δmiri2 1.“线”的转动惯量。 线即是细棒、圆环等一维物体，其计算最为简单。 （1）长度为l质量为m的均匀细棒对于垂直通过其质心的转轴的转动惯量。 设棒的线密度为λ=m/l，易得Ic=∫x2dm=∫-l/2l/2 x2λdx=1/12λl3=1/12ml2 （2）长度为l质量为m的均匀细棒对于垂直通过其端点的转轴的转动惯量。 与上题同理得Ic=∫x2dm=∫0lx2λdx=1/3λl3=1/3ml2 （3）质量为m半径为R的均匀细圆环对于垂直通过其环面的中心转轴的转动惯量。 Ic=∫R2dm=R2∫dm=mR2 2.“面”的转动惯量。 （1）质量为m半径为R的均匀薄圆盘对于垂直通过其环面的中心转轴的转动惯量。 微元法：圆盘的面密度为σ=m/лR2 Ic=∫0Rr2dm=∫0Rr22лσrdr=σлR4/2=1/2mR2 “线”积分法：此路不通！ 平行轴定理 如果质量为m的刚体相对于通过其质心转轴的转动惯量为Ic，则它相对于与此轴平行相距为d的任意轴的转动惯量为I=Ic+md2。 其中d2=R2-x2。 此时会有人想到利用与微积分中求平面图形面积类似的方法计算转动惯量，可以近似叙述成细棒的转动惯量在0到R上的“积分”，但是所求结果为无限个代数式的累加，“积分”中的dx项无从谈起，所以该方法不合适。 （2）质量为m底面半径为R高为H的均匀圆柱侧面对于垂直通过其底面中心的转轴的转动惯量。 跟圆环的道理完全相同，显然最终结果与H无关。 Ic=∫R2dm=R2∫dm=mR2 （3）质量为m底面半径为R高为H的均匀圆锥侧面对于垂直通过其底面中心的转轴的转动惯量。 侧面积为лR(R2+H2)1/2，则面密度为σ=m/лR(R2+H2)1/2，dm=[2лσr(R2+H2)1/2/R]dr Ic=∫r2dm=∫0Rr22лσr(R2+H2)1/2/R dr=1/2mR2 （4）质量为m半径为R的均匀薄球壳相对于通过其球心的转轴的转动惯量。（较为复杂，在此省略） 3.“体”的转动惯量。 在求体积时，所有的体均可看作圆盘在其高上的积分。但是根据上文所述，同理“面”积分法在求转动惯量时行不通，只能用与“线”“面”类似的方法求解。方法较为复杂。 （1）半径为R的均匀球体相对于其任意过球心转轴的转动惯量。 （较为复杂，在此省略） （2）底面半径为R，高为H的均匀圆锥对于垂直通过其锥顶和底面圆心的转轴的转动惯量。 圆锥可以看作无数个柱面转动惯量的叠加，相比球体更为复杂。体密度为φ=3m/лR2h。半径为r时对应的h为(R-r)H/R，所以dm=2φлrhdr I0=∫0Rr2dm=∫0R2φлr*r2hdr =∫0R2φлr*r2(R-r)H/Rdr=3/10mR2 （3）底面半径为R，高为H的圆柱对于垂直通过其锥顶和底面圆心的转轴的转动惯量。 圆柱也可以看作无数个柱面转动惯量的叠加，相对于圆锥较为简单。体密度为φ=m/лR2h，dm=2φлrHdr I0=∫0Rr2dm=∫0R2φлr*r2Hdr=1/2mR2 综上我们可以大概得出结论规则旋转体的转动惯量与其高度没有直接关系，在形状确定的情况下，只与其各截面的半径有关。在研究过程中，我们深刻体会到对于一些基础学科的研究，微积分确实是一种强有力的工具。 2013年4月24日