巧用梯形面积的特征解题.docVIP

梯形面积的特征 红孩儿 笔者在解答平面图形面积问题时，观察到当梯形被两条对角线分成四个三角形的时候，存在下面这个结论： 如果一个梯形上底的长度是a，下底的长度是b（如图 1所示），那么这个梯形的面积恰好平均分成了（a+b）2份， 其中三角形ABO的面积平均分成了a2份，三角形DCO的面 积平均分成了b 2份，三角形AOD和BOC的面积相等且都平 均分成了ab份。 要证明这个结论的正确性，必须逐一解决下面几个问题。 （1）三角形AOD的面积（记作：S△AOD）和S△BOC相等。（请读者自行证明） （2）S△ABO平均分成了a2份，S△DCO平均分成了b 2份。 证明：如图2，S△AOD = S△ABD－S△ABO= S△ADC－S△DCO 即：a（h1+h2）－a h1= b（h1+h2）－bh2 a h2=b h1，推出：a ：b = h1 ：h2 S△ABO ：S△BOC =（ a h1）：（ bh2）= a2：b 2 （3）S△AOD×S△BOC=S△ABO×S△DCO ，且S△AOD和S△BOC都平均分成了ab份。 证明：如图3，过A点作AE⊥DB，过C点作CF⊥DB。 S△ABO ：S△AOD = （ ×BO×AE）：（ ×DO×AE） = BO ：DO 同理可证：S△BOC ：S△DCO = BO ：DO 得到：S△ABO ：S△AOD = S△BOC ：S△DCO 即：S△AOD×S△BOC = S△ABO×S△DCO 。 S△AOD×S△BOC = a2×b 2=（ab）2 ，推出S△AOD=S△BOC = ab。 根据上面的证明过程，可计算梯形的总面积是： a2+ab +b 2+ab =a（a+b）+b（a+b）=（a+b）2 。 利用这个结论，可以解答比较复杂的有关梯形面积的题目。 例1：如图4，梯形ABCD的面积是4平方厘米，AB长5厘米，CD长3厘米，求三角形ABO的面积。 （第十五届“华杯赛” 决赛试题） 解：梯形ABCD面积平均分成了（3+5）2=64份； 三角形ABO的面积平均分成了52=25份； 三角形ABO的面积：4× = （平方厘米）。 例2：如图5，E是长方形ABCD边AB的中点，CE和BD相交于F，如果三角形EBF的面积是1cm2，那么长方形ABCD的面积是 cm2。 （1994年上海市第七届小学五年级数学竞赛复赛试题） 解：如图6，联结DE。设长方形的面积为S。 S梯形EBDC=S－S△ADE = S－S=S 。 因为E是AB中点，所以EB：DC=1：2。 S △EBF平均分成了12=1份； S梯形EBDC平均分成了（1+2）2=9份； 由S△EBF=1cm2，可知S梯形EBDC=1×9=9 cm2， S=9÷ = 12 cm2。 例3：如图7所示，BD、CF将平行四边形ABCD 分成4块，三角形DEF的面积是4平方厘米，三角 形CED的面积是6平方厘米。问：四边形ABEF的面 积是多少平方厘米？ 解：如图8，联结BE。 在梯形BCDE中，S△EBF = S△CED=6cm2； S△BEC=6×6÷4=9cm2； ED2：BC2=4：9；推出：ED：BC=2：3。 AE：ED=（3－2）：2=1：2； S△ABE= S△BED× = （4+6）× = 5 cm2； 四边形ABEF的面积：6+5=11 cm2。 练习题： 1、如图9，梯形ABCD的上底AD长为3厘米，下底BC长为9厘米。若三角形ABO的面积12平方厘米，则梯形ABCD的面积为 平方厘米。 （1999年小学数学奥林匹克决赛B卷试题） 2、如图10所示，BD，FB，FC将长方形ABCD分成5块。白色三角形面积是1平方厘米，蓝色三角形面积是2平方厘米。红色三角形面积是 平方厘米。 （福州市2001年小学生“迎春杯” 数学竞赛试题） 3、梯形ABCD如图11所示，AB，CD分别为梯形的上、下底。已知阴影部分的总面积为8平方厘米，△COD的面积是16平方厘米，则梯形ABCD的面积为 平方厘米。 （广东省中山市2000年小学数学六年级竞赛试题） 4、如图12所示，CD=6厘米，BC=4厘米，四边形BCDF的面积是16平方厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大15平方厘米。求ED的长。 答案： 1、解：梯形ABCD的面积平均分成了（3+9）2=144份； 三角形ABO的面积平均分成了3×9=27份； 梯形ABCD的面积：12× = 64平方厘米。 2、解：S△BEF= S蓝 =2 cm2； S△BEC=2×2÷1=4 cm2； FD2：BC2=1：4；推出：FD：BC=1：2。 AF：FD