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第九章 平面弯曲 弯曲的概念 平面弯曲 如果梁上所有的外力都作用于梁的纵向对称平面内，则变形后的轴线将在纵向对称平面内完成一条平面曲线。这种弯曲称为平面弯曲。 梁的简化 弯曲梁的内力 剪力FQ 梁内力的正负号规定 例题1—求弯曲内力 续例1 续例1 续例1 剪力和弯矩方程概念 剪力图画法 据剪力方程和弯矩方程可画内力图 弯矩图画法 弯矩方程 剪力、弯矩图 M、FQ与q的关系 设梁上作用任意载荷，坐标原点选在A点（左端点形心），通过分析可得到剪力、弯矩与载荷集度的关系。 M、FQ与q的关系 取x处一小段dx长度梁 由平衡方程得： ∑Fy=0： FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0 ∑MC=0： M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0 在上式中略去高阶微量后， 得 M、FQ与q的关系 使用关系式画FQ、M图 例题2—画剪力图和弯矩图 已知外伸梁，M=3kN.m，q=3kN/m，a=2m 续例2—剪力图 如图，将梁分为三段 AC：q=0,FQC= FAY CB：q0,FQB=-8.5kN BD：q0,FQB=6kN 续例2—弯矩图 AC：q=0,FQC0,直线,MC=7KN.M CB：q0,抛物线,FQ=0,MB=6.04KN.m BD：q0,开口向下，MB=-6kN.m 续例2—剪力图和弯矩图 从图上可以很清楚地 看出三者之间的微分 关系 例题 例题3 画出简支梁受集中力作用的剪力图和弯矩图 例题4 画出简支梁受集中力偶作用的剪力图和弯矩图 例题5 画出悬臂梁受均布载荷和集中力作用的剪力图和弯矩图 例题6 画出简支梁受均布载荷作用的剪力图和弯矩图 典型例题-1 已知：G,a,b,l,画梁AB内力图 典型例题-1(续) 根据以上条件，画出剪力图、弯矩图 最大剪力Qmax在AC(ba)（或CB,ab）段 Qmax=Gb/l 最大弯矩在C截面处 Mmax=Gab/l 典型例题-2 简支梁受力偶作用 典型例题-3 悬臂梁作用均布载荷q，画出梁的剪力图和弯矩图 小 结 1.平面弯曲的概念 2.剪力和弯矩符号的规定 3.利用三者的微分关系画内力图 弯曲应力和梁的变形 弯曲梁正应力 弯曲正应力公式 弯曲梁截面的最大正应力 惯性矩的平行轴定理 平行轴定理应用举例1 平行轴定理应用举例2 弯曲正应力计算 习题15-14p271 作业 一 弯曲正应力公式 二、弯曲梁截面的最大正应力 三、惯性矩的平行轴定理 平行轴定理应用举例1 平行轴定理应用举例2 求图示截面对z轴的惯性矩 弯曲正应力计算 习题14p271 四、弯曲梁的切应力 横力弯曲时，梁的横截面上切应力分布。 如图所示，已知6120柴油机活塞销的外径D=45mm，内径d=28mm，活塞销上的载荷作用尺寸a=34mm，b=39mm，连杆作用力F=88.4kN。求活塞销的最大正应力和最大切应力。 (continue) 五、弯曲梁的变形 梁弯曲变形的概念 积分法求梁的变形 积分法求梁的变形 积分法求梁的变形举例 习题15-20，q=8kN/m，l=2m，E=210GPa，求θmax，wmax； 叠加法求梁的变形 叠加法求梁的变形举例 用叠加法求图示梁B截面的转角和C截面的挠度 六、弯曲梁的强度计算 梁在弯曲变形时，其截面上既有正应力也有切应力，故有： 图示T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力[σ]＝30MPa，许用压应力[σ]＝60MPa，截面尺寸如图。截面对形心轴z的惯性矩Iz＝763mm4，且y1=52cm。试校核梁的强度。 2、求出B截面最大应力 简支梁AB如图所示，已知： [σ]=160MPa，[τ]=100MPa，a=0.2m，l=2m，F=200kN， 试选择工字钢型号。 变形可以得出： 平面弯曲 横力弯曲 纯弯曲 剪力FQ≠0 弯矩M ≠ 0 剪力FQ=0 弯矩M ≠ 0 纯弯曲： 平面假设：梁变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度 纯弯曲正应力公式推导： 如上图1、2得纵向变形： 根据胡克定律，可知： 由图3得： 几何关系 物理关系 即 对照以上各式，得： 其中：Iz为截面对z轴的惯性矩 由正应力公式可知，弯曲梁截面上的最大正应力应该在其上下边缘：即|y|的最大值处. 引入弯曲截面系数Wz=Iz/ymax，最大正应力公式为： 惯性矩计算： A 定义式： B 积分式： 矩形截面Iz的计算： 如图 由惯性矩的定义式可知： 组合截面对某轴的惯性矩，等于其组成部分对同一轴惯性矩的代数和 即： Iz=Iz1+Iz2+…+Izn=∑Izi 设某截面形心在某坐标系的坐标为(a,b),如图，则其对坐标轴的惯性矩为： 对于z轴的惯性矩： 对于y轴的惯性矩： 工字形截面梁尺寸