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第五节 无穷小与无穷大 一、无穷小 无穷小的性质： 例1. 求 定理 ( 无穷小与函数极限的关系 ) 二、无穷大 注意: 例2 . 无穷大量的性质 三、无穷小与无穷大的关系 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小 定义: 极限为零的变量称为无穷小. 时 , 函数 (或 ) 若 则 为 则称函数 (或 ) 时的无穷小 . 记作 函数 当 时为无穷小; 函数 当 时为无穷小. 例如 : 当 函数 时为无穷小; 说明: (2)除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! (1)无穷小量与极限过程分不开, 不能脱离极限 过程谈无穷小量. 性质1. 两个无穷小的代数和还是无穷小 . 说明: 无限个无穷小之代数和不一定是无穷小 ! 例如， 类似可证: 有限个无穷小之代数和仍为无穷小 . 性质2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 求极限的方法 解: 利用性质 2 可知 说明 : y = 0 是 的水平渐近线 . 其中? 为 时的无穷小量 . 证: 当 时,有 绝对值无限增大的变量称为无穷大. ，则称函数 若 当 时为无穷大。 无穷大量也有正无穷大量和负无穷大量。记作 2. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 1.无穷大量与极限过程分不开, 不能脱离极限过程 谈无穷大量. 例如 是无界数列 但 数列 , 从函数图形中还可以看出 若 则直线 为曲线 的铅直渐近线 . 渐近线 说明: x?1– x?1+ x 1. ?±?，　不一定是无穷大量，也不一定是无穷小量. 2. 0??, (有界量)??不一定是无穷大量，也不一定是无穷小量(其中0表无穷小量). 3. 无穷大量是无界量,但无界量不一定是无穷大量. 4. (+?)+(+?) = +?, (??)+(??)= ? ?. 5. ? ? ?=?, ? ± (有界量) = ?，? ± 常量 = ?. 6. C ? ?=? (其中C为非0常量). 即 若 为无穷大, 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 为无穷小 ; 则 定理. 在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数 为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证