第五章-空间问题基本理论.pptVIP

⑵ 应力用应变表示，用于按位移求解方法： (x ,y , z). ( f ) 由物理方程可以导出 （g） 是第一应力不变量，又称为体积应力。 --称为体积模量。 空间问题的应力，形变，位移等15个未知函数，它们都是(x ,y ,z)的函数。这些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。 结论： 结论 空间轴对称问题 采用柱坐标 表示。 轴对称问题 如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。 §5-5 轴对称问题的基本方程 平面轴对称问题是使用了极坐标 对于空间轴对称问题： 应力中只有 (a) 形变中只有 位移中只有 轴对称问题 所有物理量仅为(ρ,z)的函数。 平面轴对称问题 平衡微分方程： 几何方程： 其中 几何方程为 物理方程： 应变用应力表示： (d) 应力用应变表示： 其中 * 例题 第五节 轴对称问题的基本方程 第四节 几何方程及物理方程 第三节 主应力 最大与最小的应力 第二节 物体内任一点的应力状态 第一节 平衡微分方程 第五章 空间问题基本理论 在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x, y, z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。 取出微小的平行六面体， 表示出各坐标面上的应力分量，然后考虑其平衡条件: (a) (b) §5-1 平衡微分方程 静力学 坐标增量引起应力增量、Taylor展开 应力正负号规定：正负面、正负向 由x 轴向投影的平衡微分方程 , 平衡微分方程 得 因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所以 x , y , z 坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性。因此式(a)的其余两式可通过式(c)的坐标轮换得到。 由3个力矩方程得到3个切应力互等定理， ， ， (x, y , z) (d) 空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量 平衡微分方程 思考题 在图中，若点o的x向正应力分量为 ，试表示点 A , B 的x向正应力分量。 坐标增量引起应力增量 在空间问题中，同样需要解决：由直角坐标的应力分量 … …，来求出斜面(法线为 ）上的应力。 斜面应力 §5-2 物体内任一点的应力状态 斜面的全应力p 可表示为两种分量形式： p沿坐标向分量: p沿法向和切向分量: 斜面应力 取出如图的包含斜面的微分四面体，斜面面积为ds, 则x面，y面和z面的面积分别为lds,mds,nds。 由四面体的平衡条件 ，得出坐标向的应力分量, 1. 求 2. 求 将 向法向 投影，即得 得 由 从式(b)、(c )可见, 当坐标面上的六个应力分量确定之后，任一斜面上的应力也就完全确定了。 完全确定一点的应力状态 设在 边界上，给定了面力分量 则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。斜面应力分量 应代之为面力分量 ，从而得出空间问题的应力边界条件: 3. 在 上的应力边界条件 应力边界条件 应力分量的边界值与面力分量之间的关系 1.假设 面(l , m , n)为主面，则此斜面上 斜面上沿坐标向的应力分量为： 斜面应力 §5-3 主应力 最大与最小的应力 代入 , 得到： 主应力 应力主面 应力主向 考虑方向余弦关系式，有 (b) 2. 求主应力 将式(a)改写为： 求主应力 上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得 展开，即得求主应力的方程, 求主应力 ( c ) 3.应力主向 设主应力 的主向为 。代入式(a)中的前两式，整理后得 应力主向 由上两式解出 。然后由式(b)得出 应力主向 再求出