应用力学第八节.ppt

第八章 位移分析与刚度设计 §8-1 杆件微段的位移微分方程及其积分 §8-2 用叠加法求杆件的变形 §8-3 能量法 §8-4 刚度设计 §8-1 杆件微段的位移微分方程及其积分 §8-2 用叠加法求杆件的变形 §8-4 刚度设计 * * 位移：物体受载荷或其他因素（如温度）作用而发生变形时，物体内任一点的位置变化称为位移。对杆件主要研究其横截面的线位移和角位移。 一、杆件的拉压变形 杆件在轴力作用下发生轴向变形（伸长或缩短）。从杆中任取一微段dx，在FN作用下发生变形，长度变为dx+Δdx，则微段沿轴线方向的线应变为： 则杆件总伸长量为： 杆件横截面的位移。设微段轴线点a处的轴向位移为u，点b的轴向位移为u+du，则轴线方向的线应变为： 则杆件任一截面的轴向位移为： 拉压刚度 由杆件的约束条件确定 例8.1 一钢制阶梯状杆如图示，各段杆的横截面面积为A（AB）=1600mm,A（BC）=625mm,A（CD）=900mm,弹性模量E=200GPa，试求①杆的最大工作应力②杆的总长度改变量。 例8.2 一铰接结构由钢杆1和2组成如图示，在结点A处悬挂一重量P，两杆与铅垂线均成α=30°，长度L=2m与直径d=25mm均相同，钢的弹性模量E=210GPa，试求结点A的位移。 二、圆杆的扭转变形 圆杆在扭转时，可以认为各横截面之间的距离保持不变，仅绕轴线作相对转动，设微段dx的相对扭转角为dψ，沿轴线方向的变化率为dψ/ dx，在线弹性范围内dψ/ dx与扭矩T成正比，由前面知识知： 扭转刚度 则两截面a、b之间的相对扭矩角： 整个杆的相对扭矩角： 单位rad,正负号与T一致 例8.3 如图所示等截面圆轴，已知d=10cm，l=50cm，T1=8KNm，T2=3KNm，轴材料为钢，其G=82GPa，试求①轴的最大切应力；②截面B和截面C的相对扭转角；③若要求BC段的单位长度扭转角与AB段的相等，则在BC段钻孔的孔径d′应为多少？ 二、梁的弯曲变形 梁弯曲变形的特点是轴线变成了曲线（挠曲线），其轴线上任一点的横向线位移称为挠度。横截面中性轴转过的角度称为转角。 通常挠曲线上任一点的横坐标即代表相应截面上的挠度，用w表示，显然w是截面位置x的函数，因此挠曲线方程为：w=f(x)。在小变形情形下，转角θ=tgθ=dw/dx=f‘(x)，称为转角方程。在线弹性范围内1/ρ=M/EI，由微分学知：平面曲线上任一点的曲率为： 挠曲线近似微分方程 适用条件：仅适用于线弹性范围内小挠度平面弯曲问题。 积分得到转角方程： 再积分得到挠度方程： C、D为积分常数由边界条件确定 例8.4 一简支梁如图示，梁的抗弯刚度EI为常数，试求梁的转角方程和挠曲线方程，并确定梁的最大挠度。 从梁的转角和挠度方程可看出它们与载荷是呈线性关系的， 这是由于梁的变形很小，梁变形后仍按原始尺寸进行计算，而且梁的材料都工作在线弹性范围内，因此当梁上同时有几个载荷作用时，由每一个载荷所引起的转角和挠度不受其他载荷的影响，即可用叠加法。 用叠加法求的过程： ①分别计算每个载荷单独作用下所引起的转角和挠度。 ②分别求它们的代数和，即共同作用时梁的转角和挠度。 叠加法对计算几个载荷作用下梁的指定截面的转角和指定点的挠度是很简便的。 例8.5 一悬臂梁如图示，梁的抗弯刚度EI为常数，试用叠加法求梁自由端的转角和挠度。 例8.6 试求图示悬臂梁截面C的挠度。 例8.7 悬臂梁AB在自由端受集中力P作用，为增加其强度和刚度，用材料和截面均与AB梁相同的短梁DF加固，二者在C处的连接可视为简支梁，如图示，求AB梁在C处所受的约束力Rc。 一、设计准则 工程中的构件除应满足强度要求外，往往还有刚度要求，因为过大的变形同样会影响到构件的正常工作。为了保证构件刚度，通常将变形限制在允许范围内。 对扭转圆轴，其刚度设计准则是：单位长度扭转角的最大值不超过某一规定的允许值，即： 单位长度许用扭转角，单位rad/m 当单位变为(°/m)则设计准则变为： * * *