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§2.5 非齐次边界条件的处理 课后作业 P53-54 习题二 8. 11. 15. * * 处理原则: 不论方程是否为齐次的,都选取（容易求解的）辅助函数 ，通过函数之间的代换: 使得对新的未知函数 具有齐次边界条件。 例 求解下面定解问题 解：设法做一代换，使得边界条件变成齐次的。 辅助函数 的作用是使新的未知函数 v 满足齐次边界条件, 即： 为此，令 由 应满足 为了计算方便, 通常选取 W 为 x 的一次多项式，即设: 因此，令 因此 则未知函数 满足齐次边界条件。 关于 v 的定解问题： 其中 可用上节的方法求出 注：如果边界条件不全是第一类的，则 1)若 令 2)若 令 3)若 令 例 求解定解问题: 解：边界条件都为第一类，选取辅助函数 令 则问题转化为解定解问题 这是具有齐次边界条件的非齐次方程，其特征函数为 因此上述问题具有形如 的形式解, 其中待定函数 注：对于给定的定解问题, 如果方程中的非齐次项 f 和边界条件中的 都和自变量 t 无关，则可 选取辅助函数 w(x) ，通过代换 将方程和边界条件同时变成齐次的。 例 求定解问题的解 其中 A, B 为常数。 解：这个问题的特点为：方程及边界条件都是非 齐次的。 由于非齐次项和边界条件都和 t 无关，令 代入到方程 有 边界条件 变为： 初始条件变为： 为了使关于 v(x,t) 的方程以及边界条件都是齐次的， 选 w(x) 满足 这是二阶常微分方程, 它的解为 于是关于v(x,t) 的定解问题为 利用分离变量法， 其中 原定解问题的解： 练习 求解定解问题 提示： 其中 w(x) 满足 例 在矩形域内求下面定解问题 P54 (16) 提示: 先把一组边界条件化成齐次的。比如要把 x=0 及 x=a 上的边界条件化成齐次的，可以令 其中 通过代换后得到关于 v 的定解问题 其中 然后利用§2.4 非齐次方程的解法： 用分离变量法求得: 一、选择适当的坐标系。 原则:边界条件的表达式最简单。 二、若边界条件是非齐次的, 引进辅助函数把边界条件化为齐次。 三、 对于齐次边界条件、非齐次方程的定解问题，可将问题分解为两个：其 一是方程齐次, 并具有原定解条件的定解问题 (分离变量法)；其二是具有齐次定解条件的非齐次方程的定解问题(特征函数法)。 用分离变量法解一般的定解问题 例 求解下列定解问题 其中 为常数。 解 1）边界条件齐次化。 令 于是 满足如下定解问题 2）将问题分解为两个定解问题。 非齐次方程 齐次边界条件 定解问题 设 满足定解问题 其中 满足定解问题 3）求解问题 (I), (II) 。 首先，利用分离变量法求解问题 (I) 。 将 叠加，利用初始条件确定系数 计算得 其次，利用特征函数法求解问题 (II) 。 由于 代入问题（II）的方程及初始条件，得 比较系数 解得 所以 4）综合上述结果, 得到原问题的解 * * *