初等函数中的奇葩——即时定义函数问题赏析.pdfVIP

2009年 第7—8期 解题研究 中小学数予．高中版II■ 数中的奇葩 鬟 — — 即时定义函数问题赏析 警 江苏省立发中学(226600) 阙东进 ～ ． ． ． ～ 一 … — ～ — ～ ～ — ～ — — — ．．．0 函数是高中数学教学的 “纲”，是高考考查的核 点评：仔细阅读，认真审题，弄清 “保三角形函 心内容之一，在高中数学教学范畴内，一些基本初等 数”的定义是解题 的关键 ，领会 “保 ”字的内涵，注意 函数具有非常好的特质，如 “保三角形函数”“正函 体会第(3)问中解法的特别与巧妙之处，这是解题的 数”“——线性近似函数”等即时定义函数，其题型 一 种机智． 新颖别致，内涵丰富、深刻，值得细 ㈨ ，可谓是基 2．正函数 本初等函数中的奇葩，本文就此归纳如下． 定义：若函数_厂()为定义域D上的单调函数，且 1．保三角形函数 存在区间[。，6] D(其中nb)，使得当 ∈[口，b] 定义：一个函数．厂()，如果对任意一个三角形 ，只 时 )的取值范围恰为 [a，b]，则称 函数厂‘()是D 要它的j边长 。，b，c都在 ．厂()的定义域 内，就有 上的 “正函数”，区问[。，b]叫做 “等域区间”． -厂(a) b) c)也是某个三角形的三边长，则称，() (1)已知_厂()： 是[0，+。。)上的正函数，求 为 “保三角形函数 ”． 函数．厂()的 “等域区间”； (1)证明：函数_厂()： 是 “保j角形函数”； (2)试探究是否存在实数 ，使得函数g(x)= (2)若 g()是定义在R上的周期函数，值域为 + 是 (一。。，0)上的 “正函数”?若存在，请求出实数 R ，证明 厂()不是 “保二三角形函数”； 的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)若函数h()=lnx， ∈[ ，+ )是 “保i 解 ：(1)因为_厂()= 是[0，+。。)上的正函数， 角形函数”，求 的最小值． 且_厂()= 在[0，+。。)上单调递增，则当 [n，b] 证明：(1)三角形的i边长分别为o，b，c，则a+b 时， 。) 。，即 。 。，所 以 t 。：0，6：l，故函数 c，不妨假设 a≤c，b≤C， f(b)=b， 【 ：b． 因为 + v／ 0，所以 )是 -厂()的 “等域区间”为 [0，1]． “保 角形函数”． (2)因为函数 g(x)= +k是(一。。，0)上的减函 证明：(2)设 (T0)为g()的最小正周期，由 于g()的值域为R ，所以存在