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初等变换的一个应用矩阵的满秩分解
第 25 卷第 5 期 大 学 数 学 Vol . 25 , №. 5 2009 年 10 月 COLL E GE MA T H EMA TICS Oct . 2009 初等变换的一个应用 :矩阵的满秩分解 靳全勤 ( 同济大学 数学系 ,上海 200092) [摘 要] 给出利用初等变换求矩阵满秩分解的一个简洁方法. [ 关键词] 矩阵 ;初等变换 ;满秩分解 [ 中图分类号] O 151. 2 [文献标识码] C [文章编号] (2009) 050 19503 ( 矩阵是线性代数中最为重要的核心内容, 很多问题 如线性方程组求解 、二次型化标准型和线性变 ) 换的最简矩阵表示等等 都可以归结为矩阵并最终通过矩阵解决. 而矩阵的初等变换又是解决矩阵问题 的最有效工具之一. 熟知, 通过矩阵的初等变换, 我们可以判别线性方程组是否有解并求其解, 化二次型 为标准型, 判别方阵是否可逆以及求解逆矩阵. 本文给出利用初等变换求矩阵满秩分解的一个简洁方 法. 内容虽然浅显简单, 但笔者还未发现其他书刊论及. 权当抛砖引玉, 敬请同仁批评指正. 设 A 是一个 m ×n 矩阵, r 为其秩. 如果 m ×r 矩阵B 和 r ×n 矩阵 C 满足A = B C , 则称 A = B C 为矩 阵 A 的一个满秩分解. 矩阵 A 的秩 r 永远不会超过其行数 m 和列数 n . 如果 n 阶方阵A 的秩 r 远比其阶数 n 小, 则满秩分 解可以大大简化求解方阵特征值的计算. 设 n 阶方阵A 有满秩分解 A = B C ,根据文献[ 1] , 我们有 n - r λ λ λ λ ( ) | En - A| = | En - B C| = = | Er - CB| . 1 如果 n 阶方阵A 的秩 r 远远小于其阶数 n , 无疑通过上式右边的行列式来求方阵 A 的特征值要比直接 计算左边的行列式简单的多 ! 设 A 为 m ×n 矩阵, 通过行的初等变换, 可以将矩阵 A 化为如下形式的简化行阶梯形矩阵 0 … 0 1 c1 i + 1 … c1 i - 1 0 c1 i + 1 … c1 i - 1 0 c1 i + 1 … c1n 1 2 2 r r 0 … 0 0 0 … 0 1 c … c 0 c … c
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