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初三奥赛训练题07：不定方程 ? 2011 菁优网 一、填空题（共20小题，每小题5分，满分100分） 1、若是二元一次不定方程ax+by=c（其中（a、b）=1）的一组整数解，则ax+by=c的所有整数解为　_________　． 2、方程6x+22y=90的非负整数解为　_________　． 3、方程9x+24y﹣5z=1000的整数解为　_________　． 4、方程组的非负整数解为　_________　． 5、方程（x﹣a ）（x﹣8 ）﹣1=0有两个整数根，则a的值是　_________　． 6、方程5x2﹣xy﹣6=0的整数解为　_________　． 7、方程xy﹣10（x+y）=1的整数解为　_________　． 8、满足x＞y＞0且x3+7y=y3+7x的整数x=　_________　，整数y=　_________　． 9、不定方程x2﹣y2=88的整数解是　_________　． 10、（1）方程xy+1=z的质数解是　_________　； （2）方程（其中a是整数x、y、z互不相等）的正整数解是　_________　； （3）方程的整数解是　_________　． （4）方程2a+2b+2c+2d=20.625的整数解是　_________　． 11、不定方程a2+b2+c2=a2b2的所有整数解是　_________　． 12、对于正整数a和b，方程xa+b+y=xayb的所有正整数解是　_________　． 13、方程6（6a2+3b2+c2）=5n2的所有整数解是　_________　． 14、方程组的所有正整数解是　_________　． 15、方程3x2﹣8xy+7y2﹣4x+2y=109的整数解是　_________　． 16、方程3x2+7xy﹣2x﹣5y﹣35=0的不同正整数解（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），中x1+x2+x3+…+xn=　_________　． 17、写出方程x1+x2+…+x1998=x1x2…x1998的一组正整数解　_________　． 18、被11除后的商等于被除数中各数字的平方和，试写出所有这样的三位数　_________　． 19、若1+2+3+…+k之和为一完全平方数N2，并且N小于100，则K的可能值是　_________　． 20、两个凸多边形P1与P2边数不同，P1的每个内角为x度，P2的每个内角为kx度，其中k是大于1的整数，那么可能的数对（x、k）有　_________　个． 答案与评分标准 一、填空题（共20小题，每小题5分，满分100分） 1、若是二元一次不定方程ax+by=c（其中（a、b）=1）的一组整数解，则ax+by=c的所有整数解为　t=0，±1，±2，…　． 考点：二元一次方程的解。 专题：计算题；整体思想。 分析：由已知可知二元一次不定方程ax+by=c的一组整数解，即一个特解，又由于x=bt，y=at为方程ax+by=0的通解，即可得ax+by=c的所有整数解． 解答：解： ∵是二元一次不定方程ax+by=c（其中（a、b）=1）的一组整数解， ∴x=x0，y=y0为方程ax+by=c的一个特解， 又∵x=bt，y=at为方程ax+by=0的通解， 则ax+by=c的所有整数解为t=0，±1，±2，…， 故答案为t=0，±1，±2，…． 点评：本题主要考查二元一次方程的解的问题，利用特解求通解，要认真掌握． 2、方程6x+22y=90的非负整数解为　，　． 考点：解二元一次方程。 专题：计算题。 分析：首先用其中的一个未知数表示另一个未知数，然后根据x，y都是非负整数进行分析求解． 解答：解：6x+22y=90，移项化简得：x=， 根据题意，y只可取0，3，此时对应的x为15，4． 故非负整数解为：，． 故答案为：：，． 点评：本题考查了解二元一次方程，难度不大，关键是先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的适合条件的所有非负整数值，再求出另一个未知数的值． 3、方程9x+24y﹣5z=1000的整数解为　　． 考点：三元一次不定方程。 分析：设出参数9x+24y=3t，根据9x+24y﹣5z=1000，得到x、y、z的参数表达式，根据式子特点，即可得方程有无数组整数解． 解答：解：设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t﹣5z=1000． 于是原方程可化为 用前面的方法可以求得①的解为：，u是整数； ②的解为，v是整数． 消去t，得，u，v是整数． 即当u、v取不同整数的时候，会得到相应的x、y、z的整数值， 故答案为． 点评：本题主要考查三元一次不等方程的知识点，解答本题的关键是令9x+24y=3t，根据整数的知识点进行解答，此题难度有点大． 4、方程组的