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V01．13，No．1 高等数学研究 Ja儿，2010 STUDIESlNCOLLEGEMATHEMATICS 9 凸函数的一个等价性质 刘文武 (爵南民族师范学院数学系．贵州都匀．558000) 摘要 函数的凸性在研究不等式、函数逼近论等领域有着十分重要的应用，但是在不同条件下的凸函数具 有不同的一些等价性质．利用凸函数已有的性质及确界定理，给出并证明了凸(严格凸)函数的又一等价性质，所得 结果与在可导条件下凸函数的不等式性质类似． 关键词 凸函数；严格凸函数I性质． 中图分类号 0174．13 凸函数是实分析中非常重要的一类函数；在不同 任给z。∈(口，6)，有 的条件下，有不同的等价形式命题．文[13给出了如 下的两个定理： (口≤z≤b，z≠Xo)． 定理1 设厂(z)在[口，6]上定义，八z)是凸函数的则厂(z)是严格凸函数． 充要条件为：V而，勉，函∈[口，b3，劫而劫，有 证明 zo=舡l+(1一A)z2， 、工， 』堕=互盟≤丛生型．(1) Z2一Zl Z3一Z2 则z。∈(n，6)，由已知有 厂(士)是严格凸函数的充要条件为：上式中严格不等 号成立． 一过一· (4) 定理2 设，(z)∈C[a，6]，且在(口，6)上可导， 则，(z)是凸函数充要条件为：Vz。∈(n，6)，有 (5) 曩为≥弛)+／‰)Q一面)(口≤z≤酰(2) f(xo)+．=IJl(zo)(z2一z1)． 从而由(4)X．；I+(5)×(1一A)可得 ，(z)是严格凸函数的充要条件为：VXo∈(口，6)，有 2f(x1)+(1一．：I)，(z2)≥ ，(z)f(xo)+厂(zo)(z—zo) f(xo)=f(1=I．X1+(1一．：I)z2)． (口≤z≤b，．27≠．TO)． 所以，是凸函数． 文[2]又给出了凸函数的一个性质，即 (n) 定理3 对R上连续凸函数g，存在R上实值非 只须在(i)的证明过程中将不等号“≥” 改为严格不等号“”即可． 降函数h，使对任z，Y∈R，成立不等式： (3) 定理5 设，(z)是在[n，6]上定义的严格凸函 g(y)一g(z)≥^(z)(y—z)． 注 由于开区间上的凸函数一定是连续的，因 数，则存在(口，6)上定义的函数^(z)，使得 此定理3中的连续条件可以去掉． 本文目的是比较(2)、(3)，考虑定理3的逆命题， (口≤z≤6，z≠X0)，Vzo∈(口，6)． 证明 Vzo∈(口，6)及V 从而得到凸函数的又一等价性质．