凸函数连续性的简单证法.pdfVIP

第 卷 第 期 西 安 科 技 学 院 学 报 ! #$% ! ’$ 年 月 ’ !(( ) *+,-’./ +0 12 .’ ,’2#3-4256 +0 4723’73 8 5379’+/+:6 ;= !(( !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 文章编号： （ ） (( ?!? !(( ( ((@A (! 凸函数连续性的简单证法 冯芙叶 （西安科技学院基础课部，陕西 西安 ?((AB ） 摘 要：给出开凸集上凸函数连续性的一个简单证法。此证法较直观，几何特征明显。 关键词：开凸集；凸函数；连续性 中图分类号： 文献标识码： + !! . 开凸集上凸函数必然连续是已知的一个结果，但此结果的证明却是异常复杂的。本文先对一维情形 给出一个直观的证明方法，然后将这一思想用于高维情况下的同样结果。 基本概念与主要结果 # ! 定义 集合 称为凸集，若对任意 ， 及任意实数 ， ［，］且 有 ! $ $ ! ! ! ( ! % ! !$ % # $ ! $ ! !$! ! ’ 成立’ ! $ # ! 定义 定义于凸集 上的函数 ： 称为凸函数，若对任意 ， ，任意 ， ［，］ ! ( # ) ( % $ $ $ ( * *! $ ( ! ! 当 时，有 （ ） （ ） （ ）成立。 * % * ) * $ % * $ * ) $ % * ) $ ’ ! ! ! 定理 定义于开区间（，） 上的任何凸函数 （）必然连续。 + , # ) $ 定理 定义于开凸集 # 上的任何凸函数 （）必然连续。 ! ’ # ) $ ! 主要结果的证明 首先证明一维情形的定理’ 设［，］ （，），取 ｛（），（）｝，又任 ［，］可写成 （ ），（ - . + , / CD ) - ) . $ - . $ - % 0 . ( #