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凹函数的一种等价性定义与判定定理

第 28卷 第 2期 广西师范大学学报 :自然科学版 Vo1.28 No.2 2010年 6月 JournalofGuangxiNormalUniversity:NaturalScienceEdition Jun.2010 凹函数的一种等价性定义与判定定理 张武军,魏保军 (信息工程大学 理学院,河南 郑州450002) 摘 要:针对凹函数一种定义上的不足,给出了与严格凹函数定义等价的一个新定义;根据凹函数成立的一个 充要条件,得到了一个较弱的判断函数凹凸性的充分条件。 关键词:凹函数;左右导数;判定定理 中图分类号 :0172 文献标识码:A 文章编号:1001—6600(2010)02—0027—03 凹凸函数是一类重要的函数,但在不同的书上其定义有所差异,常见的有 3种定义[1。。] 定义 1 任取 z1、z2∈I,z1≠z2,及 t∈(O,1),恒有 f(tx1+ (1--t)xz)tf(z1)+ (1--t)f(x2),则称 ,()在区间j上是凹函数 (有些书称为严格凹函数)。 定义 2[。] 厂(z)在区间 上连续,内可导,在 内任取一点z。,曲线 :厂(z)在(z。,f(xo))的切线位 于曲线的下方,则称 )在区间 上是凹函数 。 可以证明定义2与定义 1及文献[2]中凹函数定义不等价。作为一类函数的定义,应满足各种形式的 定义彼此等价,为此,我们试图给出一种与定义 1等价的由第二种形式定义的凹函数 。 1 凹函数两种定义的等价性 引理 1 若函数 ,()在区间[n,6]上连续,在 (a,6)内存在右导数且 厂+(z)0(或存在左导数且 (z)0),则Jf(z)在 , 上单调递增 。 证明 任取 c、d∈(口,6),设cd,由有限覆盖定理可知:存在[f,]的一个有限开覆盖 I-1={( , + ),一0,1,…,)满足 :z∈( ,.27f+3i)时,厂(z)厂(z),其中c=z1… ≤ 。从而得 :厂(f)厂()。当 ~~--a或d=b时,由连续性 同样可证 厂(f) (),故 厂(z)在 ,6]上单调递增。 引理 2 函数 厂 )是区间 上的凹函数的充要条件是:, )在区间 上连续,对 内任意,7C,厂+ )、 ()均存在且单调递增。 证明 必要性略L4]。 充分性任取 、EI,且 。,令F()一厂(z)一f(x1)一 Z兰l (z—z),由引理1可知: 必有F+『(z)O,F-(z。)0。定义asup{zlF+I(z)≤0,.27∈ ,z]),可以证明当 ∈(z。,a3或 ∈[口, X2)时,F()O。从而对V ∈(0,1),恒有F(tx1+(1--t)x2)O,所以 f(tx1+ (1--t)x2)tf(1)+ (1一f)厂(z2), 故 ()是区间 上的凹函数。 引理 3[5] 若 ,(z)是区间 上的凹函数,则厂(z)在 内几乎处处可导。 根据引理3,我们给出与凹函数的定义 1等价的定义3。 定义 3 厂(z)在区间 上连续,任取区间JCI,对应于 的曲线 一,(z)上,总存在不垂直于 z轴的 切线,且切线位于曲线的下方,则称 厂(z)在区间 上是凹函数 。 收稿 日期 :2009—12—15 基金项 目:国家 自然科学基金资助项 目 通讯联系人 :张武军 (1965一),男,山东宁阳人 ,信息工程大学副教授 。E—mail:zwjwsm@yeah.net 28 广西师范大学学报:自然科学版 第 28卷 定理 1 区间 上的凹(凸)函数的定义 1、3等价 。 、 证明 若 f(sc)是 由定义 1确定的区间 上的凹函数,则 由引理3可知:任取区间JCI,函数 一厂 ) 在区间L厂内总存在可导点 o,故 曲线 一厂()上总存在不垂直 .27轴的切线 ,其方程为 :=尸(。)(z一.270) +,(o)。任取,27∈ ,不妨设 。。任取 z∈(。,Jc),由定义 1,可得: 尸 (

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