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第 19卷第3期 徐州师范大学学报(自然科学版) 79.入 3 2001年9月 J.ofXuzhouNormalUoi.(NaturalSciences) .2001 关于Zm子群的一个注记 朱一心 (徐州师范大学数学系，江苏徐州 2210097 摘要:讨论，整除，时Z,:的子群与Z:的子群之间的关系以及它们对有限群的Galois作用的不同，并给出相关的 例子.证明当v妻3召妻1时，Z介的一个子群与Z户十a的一个子群在mod20下同构当且仅当该子群为(一1);而对于奇素 数P及-,#-1,Z;的一个子群与Z户十e的一个子群在mod厂下同构当且仅当该子群的阶是p-1的因子. 关健词:子群;直积;群作用 中图分类号:0156.1;0152.1 文献标识码:A 文章编号:1007-6573(2001)03-0001-03 对正整数。，记Z为模，剩余类整数环Z。的乘法群，，为整除m的正整数，则自然映射mod。是 Z,。到Z.的环同态，记为Z二三Z.(moda).于是有如下的: 引理 1 设，，n为正整数且，整除m，则Z,}-Z,;(modn)为群同态 modn引导Z和么:子群集合间的满同态，但对于Z,;的一个子群H，不必存在Z的一个子群与 H在mod二下同构. 例1 1)m=24,n=S,Z2*,=(1,5,7,11,13,17,19,23),Zz={1,3,5,7t.Zq的所有非1子群有:A, =Z;,A2=(1,3),A,=(1,5),A,=(1,7).Zi,的如下子群分别与AA2,AA、在mod8下同构: {1,5,7,11),(1,11)，(1,5)，{1,7). 2)m=27，二=9,Z;,=(1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26)=(2),Z;=i1,2, 4,5,7,8)=(2).Z;只有一个3阶子群A=(1,4,7),Z;2只有一个3阶子群B=(1,10,19},B与A不在 mod9下同构. 设K是特征零的域，F是K的添加。次单位根的扩域，则相应的Galois群Gal(F/K)同构于乙 的 一个子群rx[1,Theorem1.8.1].取。为有限群G的指数，则G的FX一共扼类和Fx一初等子群在讨论 G的K表示时是极为有用的[-2AV].[3]4F)，其中需要考虑几.特别地，Z;对于G的作用对于tEZ;，令 t对G的作用为t:G-G,.z-z. 设 =‘mn(m,，互素)，则由中国剩余定理仁1,Corollary9[.2.26〕有Z,-ZmXZ,;.记Z,;到Z:与 Zm的同态核分别为，Z,和。Z;,即-Z;1(modn),.Z,L--0-1(modm).以下引理是 4〔,Proposition1.3] 的改写. 引理2[,.r.-a,271)Z,M=Z.LX,Z,. 2)Z,;=Z,,;(modm),.Z平凡作用于n阶元. 3)nZ,M三Z,;(modn),Z-平凡作用于m阶元. 事实上有.Z,M-Z_-Z,M平凡于作用二阶元，但Z,不必如此，因此，[4,Proposition1.3(2),(3)〕原 文中二Z,:=Zm和。Z,L=Z:的记法指的是同构，而不是严格意义上的相等 例2 对。=6,Z}一，Za二{1,5}=(5-Z,二{1,2}二(2),3Z,平凡作用于2阶元，Z3不能如此 但2Zs-Z2