关于“一致有界的一族无穷小的积是无穷小”定理.pdfVIP

第 30卷第2期 大 学 数 学 VoI．3O，№ ．2 2014年 4月 CoLLEGEM ATHEM ATICS Apr．2014 关于 “一致有界的一族无穷小的积是无穷小’’定理 姚 琼 ，杨汉生 (电子科技大学 中山学院计算机学院，广东 中山 528400) [摘 要]针对微积分教材关于 “无穷小的积是否是无穷小”的命题的模糊叙述，证明“一致有界的一族无 穷小的积仍是无穷小”． [关键词]一致有界；无穷小的积；微积分 [中图分类号]021 [文献标识码]C [文章编号]1672—1454(2014)02—0091—03 l 引 言 国内外的微积分、高等数学和数学专业数学分析教材，在有关 “无穷小 的积的运算法则”的论述 时[1一引，有的教材明确指出 “有限个无穷小 的积是无穷小”，有的教材则含糊地指 出 “无穷小的积是无穷 小”．执教者经常面临历届学生中 “无穷个无穷小的积是否是无穷小”的疑 问；执教者课后之间对此问题 有时也众说纷纭、莫衷一是[4]．微积分学 的基础是极限理论 ，极限理论 的最终本质离不开无穷小．现代 非标准分析事实上激活了微积分学发展历史中极为关键的 “无穷小分析”，因此 ，本文关于 “一致有界的 一 族无穷小的积是无穷小”的命题，关于特定的 “一族一致有界无穷小”的概念，或许能对深入研讨 “无穷 小分析理论”起到一点抛砖引玉的作用． 2 定义与定理证明 定义 1 设 a(z)， ∈I1(注 ：在实分析 中，I1表示有限、可数无穷或不可数无穷指标集)是一族 当 —X。时的无穷小，如果存在正数M ∈(0，1)和 0，使得对于满足不等式0 lz—z。I 的一切 和一切 ∈I1，都有 ()I≤M ，则称这一族(当z—z。时的)无穷小 {蛳()，∈r}在点 o附近 一 致有界． 定理 1 设 a(z) (1≤ k≤ 72)是有 限个 当 — 。时 的无穷小 ，则这有 限个无 穷小 a() (1≤k≤ )在点 。附近必然是一致有界 的． 证 设 a() (1≤忌≤ )是有限个当z— 。时的无穷小．由于lima (z)一0，1≤忌≤，z，根据极 限的 — zo 定义，任意给定 ￡。一 ∈(o，1)，则存在正数 o，使得对于满足不等式oI—z。I 的一切 ，有 I口()I—Ia()一0I￡。--M ．取M_--max{ )，则M∈(0，1)．取 _--min{)，则 o，从而对于 满足不等式0l— 。l 的一切X和对一切是 (1≤k≤ )，都有 I口(z)l≤M，即这有限个无穷小 a() (1≤是≤ )在点 。附近必然是一致有界的． 定理 2 设 { (z)， ∈r}是一族 当z— 。时的无穷小并且在点 。附近一致有界 ，那么 ，这一族无 穷小的乘积 Ila(z)仍然是无穷小． ^∈r 证 在 {a^(z)，∈I1)中任取一个无穷小 *()， ∈r，则有lima*(z)一0，从而Ve0， 0， [收稿 日期]2o13一Ol一28 92 大 学 数 学 第 30卷 V ：oI—z。I ，都有 *()一0I— *(z)Ie．另一方面，由于{劬(z)，∈I1)是一族在点z。 附近一致有界的无穷小，从而存在正数M ∈(0，1)和 o，使得对于满足不等式olz—z。l z的一 切z和一切 ∈I1，都有 (z)l≤M1．取 ：==min{ ， )，于是，Ve0，j ：rain{。， }， Vz：oI—zol ，都有 IH^t』。Ol~．(z)一0I’—I。^Ⅱ∈』a。(z)I—l劬*(z)l(ⅡIa()I) ^≠ ’ ∈r