中南高代08 09年.docVIP

2008年 填空题（5分，共25分） 设=(2,4,2) ,=(,,), =(3,5,4), =(1,4, ),,,可以由,,线性表出，则=秩（,,）的取值范围是 是的子空间，则的正交补的维数是 设是向量空间上的线性变换，： ，则线性变换的核（零度）和像（值域）分别为 取何值时，实矩阵 与合同？ 5、设是阶可逆矩阵，是伴随矩阵，则与的关系是 二、（15分）设是实数，，证明：有重根的充要条件是 三、（15分）设是一个次数大于零的多项式，且，是阶矩阵且，证明：是可逆矩阵 四、（15分）证明：任一阶可逆实矩阵均可分解为一正交矩阵和一实上三角矩阵的乘积，即 五、（20分）设 1、证明：存在，使得对任一阶实对称矩阵，都正定 2、设，若正定，试确定的取值范围 六、（20分）设,是实数，求矩阵的最大特征根 七、（20分）设是阶实方阵，是的转置矩阵，和是维列向量。证明：方程组一定有解 八、（20分）设是欧式空间，是上的线性变换，是上的变换，且对任意有。证明： 1、是上的线性变换 2、的核（零度）等于的像（值域）的正交补 2009年 填空题（25分） 的有理根的集合为 设阶方阵的元素全为1，则的个特征根为 ，的最小多项式为 数字矩阵的初等因子是,,,,,,,则的不变因子是 设向量组线性无关，则常数满足 时向量组线性无关 给定3维欧式空间的一组基及其度量矩阵，则的长度是 二、（25分） 1、（10分）证明：在有理数域上存在任意次数的不可约多项式 2、（15分）设是数域上两个不全为0的多项式，记{均为上多项式}。证明：中次数最低的首1多项式是 三、（25分） 1、（10分）计算行列式 2、（15分）设为一个阶方阵，且对任何，有 证明的行列式 四、（25分） 1、（12分）证明：对任何矩阵有 其中表示的转置，表示B的秩 2、（13分）设为一个阶方阵，证明：对任何满足的，必存在阶方阵B使得 五、（20分）已知二次型的秩为2 1）求的值 2）求正交变换把化为标准形 3）求方程的解 六、（30分）设线性空间上的线性变换满足，证明 1）的特征值只能为0或1 2）核 值域 3）与都是的不变子空间 4）