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应 用 数 学 MATHEMATICA APPLICATA 2Ol4。27(4)：865-873 两个四阶奇异微分算子积的自伴性 葛素琴 ，王万义 ，索建青 (1．内蒙古大学数学科学学院，内蒙古 呼和浩特 010021；2．内蒙古科技大学数理与生物工程 学院，内蒙古 包头 014010) 摘要 ：本文在区间Ea，∞)上研究 由具有任意亏指数的对称常微分算式 ly：一 Y“一 (PY)+qY生成的两个四阶奇型微分算子L (一 1，2)的积 LL1的 自伴性．在0∈ II(L。(z))及 z。在 LEo，cx3)中是部分分离的假设条件下，借助实参数解对 自共轭域 的描述定理 ，获得两个四阶微分算子乘积 自伴的充要条件 ，同时证 明若 L 和 L 自 伴 ，则 L—LzL 自伴 的充要条件是 L 一 L ，其 中一 D(O 口 。。，2≤ d≤ 4， II(L。(z))是 z在L。[n，cx。)中产生的最小算子L。(z)的正则型域． 关键词 ：两个微分算子的积 ；正则型域 ；实参数解 ；部分分离；自共轭域 中图分类号 ：0175．3 AMS(2000)主题分类：34B20；47E05 文献标识码 ：A 文章编号 ：1001—9847(2014)04—0865—09 1．引言 设 z为区间J上具有适当可微复值函数系数n()的N阶对称微分算式，即 —z ，其 中 ^， N ly一 n^() “’，l+y一 (一 1)( )娃 ，t∈J— Ea，oo) (1．1) k= 0 ^=O 具有适 当定义域时 ，称 z是微分算子．微分算子理论在量子力学 中起着十分重要的作用 ，一个 自伴算子对应一个可观察量，而一个对称算子未必对应一个可观察量．但一个微分算子只有限 制在适当定义域 (即满足适 当边条件的函数空间)，才成为 自伴微分算子．关于微分算子的积或 幂方面有许多论文，尤其在微分算式 z幂的亏指数及其交换性方面获得 了大量的结果 ．关 于两个二阶微分算子积的自伴性已有深入研究 ]．对于高阶微分算子积的 自伴性问题 ，文Es] 研究了在常型和极限圆情形下两个四阶微分算子积 自伴的充要条件 ，并获得了与积算子 自伴 性有关的一些重要而有趣的结果．文E6]研究了在极限圆情形下，由 阶实对称微分算式产生 的两个微分算子积的自伴性问题．文[7]研究了在任意亏指数情形下，一般的 阶对称微分算 式产生的两个微分算子积的 自伴性问题 ，以较抽象的形式给出了积算子 自伴的充要条件． 本文在 0∈II(L。(z))及 z在 L。[n，CxD)中是部分分离的假设条件下，使用实参数解对 自 * 收稿 日期 ：2014—01—08 基金项 目：国家 自然科学基金资助项 目 作者简介 ：葛素琴 ，女，汉族 ，内蒙古人 ，博士 ，研究方 向：常微分算子 的谱及应用． 866 应 用 数 学 伴域的刻画定理嗍及分析技巧 ，并借助文Es]的部分计算结果 ，以矩阵形式给出了，具任意亏指 数的四阶奇型对称微分算式产生 的两个微分算子的积 自伴 的充要条件 ，并获得 了与积算子 LzL 自伴性有关的一些结果，从而推广了文[5]中的结果，同时也以解析的形式解释了文-[7-1 给出的积 自伴的充要条件 ，其中II(L。(z))的定义见下文． 2．预备知识 定义 2．1 设 T是 Hilbert空间中的线性算子．如果存在数k—k()0使得对于所有的 zE D(丁)， II(T— J)zI【≥kllzll， 则称 为算子 T的正则型点．T的正则型点的全体称为正则型域，记为 17(丁)． 引理 2．1[g 线性算子 T的正则型域是开集． 定义2．2 设 T是 Hilbert空间中的线性算子， 是虚部 Im1≠0的复数．子空间R(一 丁)上称作 T和 的亏空间，数 一dimR(1一T)J-称为T和 的亏指数． 设 ， 是和对称算子 丁的上下平面有关 的亏指数 ，则实数对 ( ，d一)称作 的亏指数．