东湖学校 平行四边形的性质定理3.ppt.pptVIP

定义 除了这些性质以外,平行四边形还有没有其他的性质呢? 我们回忆一下,平行四边形有哪些性质? 1、平行四边形的 对边平行； 2、平行四边形的 对边相等； 3、平行四边形的 对角相等； A B C D 复习引入 　探究、想一想， ABCD是中心对称图形。将其绕对角线交点旋转180°会有什么发现？ ● A D O C B D B O C A 再看一遍 ● A D O C B D B O C A 　 如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，BD，设它们相交于点O．OA与OC，OB与OD有什么关系？ D A B C O 　　 OA=OC,OB=OD 做一做：请同学们在纸上画出一个平行四边形ABCD,并量出OA与OC,OB与OD的长度,看他们的长度有什么关系?你发现了什么结论？其他同学的结果与你的相同吗？ OA=OC,OB=OD 你能证明上述猜想吗？ 猜想：平行四边形的　　 对角线互相平分．　 A C D B O 已知：如图： ABCD的对角线AC、BD 相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD=BC，AD∥BC. ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4. ∴ △AOD≌△COB（ASA）. ∴ OA=OC，OB=OD. 3 2 4 1 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的性质定理3： 平行四边形的对角线互相平分. 几何语言表示为： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线 互相平分）。 何为互相平分？ O A B C D 例5 如图，在□ABCD中,已知对角线AC和BD相交于点O,△AOB的周长为15,AB=6,那么对角线AC与BD的和是多少? O A B C D 解：在□ABCD中，∵AB=6 AO+BO+AB=15， ∴AO+BO=15-6=9 又∵AO=OC,BO=OD(平行四边形的对角线互相平分) ∴AC+BD =2AO+2BO =2(AO+BO)=2×9=18 例6 如图，□ABCD的对角线AC和BD相交于点的交点O，EF过点O且与边AB、CD分别相交于点E和点F.求证：OE=OF O D A B C F E 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OB=OD (平行四边形的对角线互相平分) 又∵AB∥DC, ∴∠EBO= ∠FDO 又∵ ∠BOE= ∠DOF ∴△BEO≌△DFO ∴OE=OF 如右图所示,平行四边形ABCD的对角线相交于O,AC⊥BC垂足为C,已知AC=6,BC=4,求BD的长? A B C D O 解： ∵四边形ABCD是平行四边形，AC=6 ∴AO=OC=?AC=?×6=3(平行四边形的对角线相互平分) 又∵ AC⊥BC ，BC=4 ∴在Rt△OCB中， OB2=OC2+BC2, OB2=32+42， OB=5(勾股定理) ∴BD=2OB=2×5=10(平行四边形的对角线相互平分) 说一说,练一练 1. 如图，在 ABCD中， BC=10cm, AC=8cm, BD=14cm, （1）△ AOD的周长是多少？为什么？ （ 2） △ ABC与△ DBC的周长哪个长？长多少？ A B D C O 6cm (1) 21cm (2)△ DBC长 O D B A C 2. 如图,在 ABCD中, 对角线AC﹑BD相交于点O,且AC+BD=20, △AOB的周长等于15, 则CD=______. 5