两个正方形剪拼成一个大正方形.docVIP

两个正方形剪拼成一个大正方形湖北省襄阳市黄集镇初级中学( 441123) 赵国瑞 图1 图1 中的两个正方形 连成了一体. 布鲁斯博士 说, 只要在上面画两条直 线, 把这个图形分成四块, 就可重新拼成一个正方形 而无任何剩余. 你能做到吗? 提示根据图形剪拼后面积相等的原理, 求出要拼成的正方形的边长, 并在目前的图形 中寻找这样长度的线段. ) 答案这两个正方形无具体尺寸, 但不管 怎样, 它们拼成的图形的面积, 总是它们的面 积的和, 这是一切图形拼剪问题的着手点. 图2 现设一个正方形 的边长为 a, 另一个正 方形的边长为 b, 则这 两个正方形的面积之 和为 a 2 + b 2 . 再设它们 所拼成的正方形的边 长为 c, 则有 c 2 = a 2 + b 2 . 根据勾股定理, c 正是 以a、b 为直角边的直角三角形的斜边. 根据这 条线索, 我们在图2 上试着找出一个这样的直 角三角形. 显然, CGF 符合要求, 因此CF 的 长度就是我们要拼的正方形的边长. 既然如 此, 何不试着把CF 作为我们要拼的那个新正 方形的一条边呢? 于是我们连接CF, 即把CF 图3 作为我们所画的第一条划分线. 既然CF 是新正方 形的一条边, 那么过 C 点与CF 垂直的那条直 线上应该有着新正方形 的另一条边. 于是我们 如此画一条直线, 如图 3, 设这条直线交 DE 于 H , 交A G 于I ; 并为了下面证明的需要, 设它 交BA 的延长线于J . 这样就把图形分成了四 块: Rt ICF( ) 、四边形CH EF( ) 、直角梯 形I A BC( ) 和 Rt CDH ( ) . 这样的四个 图形能不能拼成一个正方形呢? 图4 如图 4 所示, 这样 的四个图形东西确实可 以拼成一个正方形. 具 体的操作过程是: ( 1 ) 把 Rt CDH 沿直线 H J 平移到 Rt JA I 的位置, 与直角 梯形ABCI 拼成一个Rt JBC. 这一操作的合理性需要有 Rt CDH  Rt J AI 作保证, 这将在下面证明. ( 2) 把Rt J BC 平移到四边形CH EF 的 右边并与之拼合. 这里需要有EF= A B+ J A, 但如果有Rt CDH Rt J AI , 则J A = CD, 从而有EF= GD= GC+ CD= AB+ JA . ( 3) 把Rt I CF 沿直线J H 平移到刚才 拼合成的图形下面并与之拼合. 这里需要有 I F = BC + H E, 但如果有 Rt CDH  Rt JA I , 则A I = DH , 从而有 I F= I G+ GF= A G- AI + GF= BC- DH + DE= BC+ H E. 于是在Rt CDH  Rt JA I ( 待证) 的前 提下, 我们得到了图 4 的四边形, 但我们还要 证明它是正方形. 目前仅知道这个四边形有两个角( 即原来 中的I CF 和原来中的FCH ) 是直角. 我们还需要证明其他两个角也是直角. 其实这 很容易. 由于在原来的图形中, CFI + CI F = 90, 而CI F= I CB, 所以CFI + ICB = 90. ( 下转第27 页)  28  x   网址: z xss. chinajournal. net. cn 电子信箱: zxs s@ chinajournal. net . cn 数学史话 吉林省公主岭市教育六号楼四单元2  1( 136100) 窦英俊 李玉程   程大位是明朝( 公元 16 世纪) 人, 是我国 古代伟大的数学家, 他花了几十年的时间, 精 心研究各种数学书籍, 并结合自己的体会, 于 1593 年编写出了算法统宗一书, 此书出版 后, 就在国内各地广泛流传, 当时此书成为我 国初等数学教科书, 它在我国数学史上是一部 很重要的著作. 本文将介绍此书中的一道百羊趣题如下:    甲赶群羊逐草茂, 乙拽肥羊一只随其后, 戏问甲及一百否? 甲云所说无差谬, 若得这般一群凑, 再添半群小半群, 得你一只来方凑, 玄机奥妙谁参透? 这道题, 大意是说: 牧羊人赶着一群羊去 寻找草长得茂盛的地方放牧, 有一个过路人牵 着一只肥羊从后面跟了上来, 他对牧羊人说:  你好, 牧羊人! 你赶这群羊大概有一百只 吧?牧羊人答道:  如果我再有这样一群羊, 并 且加上这群羊的一半, 又四分之一群, 连你牵 着的这只肥羊也算进去, 才刚好凑满一百只, 谁能够知道牧羊人放牧的这群羊一共有多少 只? 弄清了题意以后, 这道题的解法很简单, 其解法如下: 解法一( 算术法) : 把原来群