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专题辅导8 不定积分 掌握求不定积分的基本方法，迅速且准确地求出一个函数的原函数，对于我们学习后面 的内容是非常重要的.这一讲中，我们将对求不定积分常用的计算方法进行归类、总结，以 帮助大家更好地掌握它们. （一）直接积分法 dx 3 例 8.1 填空题：(1)∫ 2 ；(2)∫( x +1)( x −1)dx x x −5 5 −2 − 1 1 2 解 (1)原式= 2 2 =+ =− 3 + ∫x dx 5 x C 3 x C 1− 2 5 3 1 7 5 3 2 2 2 （2）原式=∫(x 2 +x 2 −x 2 −1)dx x 2 =+ x 2 − x 2 −x +C 7 5 3 1 µ µ 1 [小结] 利用幂函数的积分公式∫x dx µ+1x + =+C 求积分时，应当首先将被积函数写成 幂函数的形式. 例 8.2 求下列不定积分 2 3x 5 2x 3x 4 +3x 2 +1 × − × （1） dx ；（2） dx ∫ 3x ∫ x 2 +1 2 x 2 x 5 ×( 3 ) 解（1）原式=2 dx −5 ( ) dx 2x =− +C ∫ ∫ 3 2 ln 3 2 1 3 (2)原式= 3x dx + dx x =+arctan x +C ∫ ∫1+x 2 1 cos 2x 例 8.3 填空题: （1）∫1+cos 2x dx ；（2）∫cos x −sin x dx 1 1 解（1）原式= dx tan x =+C ∫2cos2 x 2 cos2 x −sin2 x （2）原式=∫ cos x −sin x dx ∫(cos x =+sin x)dx sin x =−cos x +C [小结] 求不定积分的直接积分法，是指直接或者将被积函数作适当恒等变形后利用不定积 分的性质和基本积分表来求不定积分的方法.熟记基本积分公式是至关重要的，因为这些公 式是我们对被积函数进行恒等变形的目标. （二）第一类换元积分法 例 8.4 求下列不定积分 20