一个3x+1推广函数在实轴上周期点的一些性质及其引起的分形图像.pdfVIP

一个3x+1 推广函数在实轴上周期点的一些性质及其 引起的分形图像1 李向华，王钲旋 吉林大学计算机科学与技术学院，吉林长春 (130012) E-mail：li_xianghua@163.com 摘 要：为了理解和分析3x+1 推广函数生成分形的结构和性质，研究了一个 3x+1 推广函 数T(x)在实轴上周期点的一些性质，证明了T(x)在区间(-1,0)上无n 周期点，在区间(0,1)、(-2,-1) 上只有不动点。 关键词：3x+1 猜想；3x+1 推广函数；周期点；分形图像 中图分类号：TP391.41 1. 引 言 所谓“3x+1 猜想”，或称“3n+1 猜想”就是对任一自然数n 用数论函数 ⎧ x ⎪ 2 x ≡0 mod 2 T (x ) ⎨ ⎪3x +1 x ≡1mod 2 ⎩ 2 进行迭代，必存在有限的迭代次数k 使得T (k ) (x ) 1 。它是一个尚未解决的著名数学难题。 一些文献指出这一猜想可以引出复杂的分形结构。文献[1]较详细的讨论了它的一个推广函 数： 2 πx T x 1 x sin ( 2 ) 2 πx ( ) [ 3 +sin ( )] 2 2 其中x 是复数。我们知道分形起源于动力系统，而动力系统简单说是一个函数迭代系统，对 于这样的一个系统，人们感兴趣的是其迭代序列的分布情况，它有可能是随机分布的，有可 能是吸引到某个不动点或者周期点，这些不变集就有可能引出分形。因此我们有必要研究了 3x+1 推广函数T(x) 的周期点。本文讨论了此推广函数T(x)在实轴上周期点的一些性质，计 算出了其3 周期吸引点，并用周期分类法绘制了其分形图像。 2. T(x)在实轴上的周期点 2.1 T(x)在区间(-1,0)上无n 周期点 2 πx sin ( 2 ) πx ln 3 sin2 ( πx ) π 证明：(1)令3 =A(x) ， 3 2 sin(πx ) =B(x)， sin(πx ) =C(x) ， 2 2 则：T(x)= [A(x)+B(x)+C(x)]/2 。 ∵x ∈(-1,0) ∴ 1A(x)3，B(x)0 ，C(x)0 B(x)=-C(x) 的x近似值为-0.51346，图像如图1所示，红色曲线代表B(x) ，绿色曲线代表-C(x)。 根据图1，显然有：x ∈(-1,-0.51346)时，B(x)-C(x) ，故T(x)0 。 x ∈(-0.51346,0)时，B(x)-C(x) ，且x=-0.35310时，B(x)与-C(x)之间的距离最大，该最大差值 为0.66653，故A(x)+B(x)+C(x)0 ，即T(x)0 。 1本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金（项目编号：20060183041 ）的资助。 - 1 - 故T(x)在区间(-1,0)单调