一个只在有理点处可微的连续函数.pdfVIP

一 个只在有理点处可微的连续函数 MarkLynch 摘要 给出了一个函数的显式构造，此函数是在一个区间中的连续函数，它只在 有理点处可微． 在一次因特网数学论坛上所问的两个 问题激发了本短文：是否存在一个连续函数， 它只在无理点处可微?是否存在一个连续函数，它只在有理点处可微?这两个问题似乎 与下述两个问题相似：是否存在一个函数，它只在无理点处连续?是否存在一个函数， 它只在有理点处连续?因为关于连续性的两个问题的答案分别为 是“”和 “否”，作者认为 关于可微性的两个问题的答案再一次分别为 是“”和 “否”． 然而，两个答案都为 是“”．只在无理点处可微的连续函数可以取为由Rudinf5，注 4．31】给出的函数的原函数．Zahorski[6]证明了只在有理点处可微的连续函数的存在性， 但是没有显式的构造． 在本短文中，我们给出在 [0，1】上一个连续函数的显式构造，该函数只在 (0，1)中的 有理点处可微．我们通过推广 2『1中所用的技术来做到此事． 1．长菱形 令 n是一个正整数．令 e(x)=rx+s是定义在 [a，b】上的 一 个线性函数，其斜率的绝对值严格大于Tt．那么，它的图像 就是平面中的一个线段 L．我们将只限于讨论正斜率rn的 情形，因为 r一n的情形是类似的． 令 e0，并考虑两个线性函数 e(x)+E和 e(x)一E，在 图1中，它们的图像分别记为 1和 2．令 m=(a+b)／2．我 们可以选取 充分小，使得 1／n，并且也使得 I l佗 口 图1m长菱形 6 成立．)斜菱形R是由 l，2和铅垂线 X=a，x=b所围的闭区域．线段 ，1和 2的 斜率都大于n，并且我们已经取 e足够小，使得图 1中虚线 。)的斜率也大于n(即上面单 独成行的不等式——译注)．为简单起见，称 为一个 斜“率为n的斜菱形”． 如果一个连续函数的图像被包含在 中，那么它必定有许多斜率大于礼的弦；事实 上，该图像上的每个点都是这样一条弦的端点．我们把这个事实叙述为一个引理． 引理 1 如果 ，是 [a，b】上的一个连续函数，其图像被包含在 R 内，那么对于每个 译自：MathematicsMagazine，Vo1．86(2013)，No．2，P．132—135，AContinuousFunctionThatIs DifferentiableOnlyattheRationals，MarkLynch，figurenumber3．Copyright⑥2014theMath— ematicalAssociationofAmerica．Reprintedwithpermission．Allrightsreserved．美国数学协会 授予译文出版许可． 1)当r一n时此式 自然成立；当rn时取 0Emin{1／n，(r—n)(6一a)／4}即可．—— 译注 2)原文为 t“hedottedline”，即虚线．但图1中并未画出虚线．实际上指的是图中画出的连接 (m，(m)+e) 和 (b，(6)一e)的线段．—— 译注 90 ． X∈[a，b]，存在一个Y∈[a，b]，使得 If(Y)一f(x)l／lY—zln． 证明 假设我们正在处理如图 1中那样rn的情形．令 ∈a【)6】，并假设X m． 那么我们不妨取Y=b．此时正如所希望的，有 1b 拿 佗． — Xl — lb—Xl — lb—ml … 对于X m，我们取 Y=a，有类似的结果． ■ 2．挤压集 令 R是如上所描述的围绕 的斜菱形．我们可以如下地 在一个点P∈(a，b)处 挤“压”这个菱形：令 和 V是两个 [a，b] 上的可微函数，它们的图像包含在 R中，并使得 (a)u(a)g(a)u(0)，u(6) (6)u(6)，且对于 X≠P 有 u(x)u()； (b) (p)=u(p)和 r“(p)=V／(p)．