R^N中含Sobolev临界指数的拟线性椭圆方程组的多重正解.pdfVIP

第44卷第4期 数 学 进 展 、厂01．44．No．4 2015年7月 ADVANCESINMATHEMATICS(CHINA Ⅳ中含 Sobolev临界指数的 拟线性椭圆方程组的多重正解 张文丽 (长治学院数学系，长治，山西，046011) 摘要：研究了 上一类含 Sobolev临界指数的P．Laplacian拟线性椭圆方程组．借助位势函 数的特性，利用变分方法，通过对 Nehari流形进行分解，证明了当参数 (，)属于 。中某个子集 时，该类方程组至少存在 2个正解． 关键词：拟线性椭圆方程组；Nehari流形；Sobolev临界指数；Ekeland变分原理 MR(2010)主题分类：35A15；35J92／中图分类号：O175．25 文献标识码：A 文章编号：1000—0917(2015)04—056211 1引言和主要结论 本文考虑如下椭圆方程组正解的存在性与多重性 rl ．．， — )uq-2u-b ， Jdiv( ()vq--2V-~-1 11一div( ， ∈ JⅣ 【()， ， 其中2 qPN， 0， 0，并且函数a(x)}6()，F(s，t)满足： (a)0()，b(x)∈L ( )，且存在Qc Ⅳ(0∈Q，IQ10)，在 2【内有0()，b(x)0，其 中P = N — p表示Sobolev临界指数； (b)F∈C (+× +，+)是P 阶齐次函数，即F(2／s，2／t)：2／PF(s，t)(0)． 上述椭圆问题在黎曼流形上的拟正则和拟共形映射理论、非牛顿流体理论 【，引、反应扩散理 论 和生物种群等领域上都有广泛应用．在非牛顿流体理论中，参数P表示介质的特征．P2 表示膨胀流，P∈(1，2)表示假塑性流体，P=2则表示牛顿流体． 文献 6【]最先对下面带凹凸非线性项的半线性椭圆方程 X ∈Q． 进行了研究，其中 c Ⅳ为有界区域．文献 [6]证明了当N 4，0 1时，方程 (1．1)至 少存在 1个正解，其中 1表示算子 一△的第一特征值．对于半线性椭圆方程问题，第一个多重 收稿 日期：2013—10—28．修改稿收到 日期：2014．03．27． 基金项 目：山西省高校科技研究开发项 目(No和长治学院科研项 目(No．2011113) E—mail：yw16133@126．com 4期 张文丽：碾Ⅳ中含 Sobolev临界指数的拟线性椭圆方程组的多重正解 563 解的结果是由文献 [24]得到的，即当N 5，参数 足够小时，方程 (1．1)至少存在cata(~t)个 解．接着，文献 [29]研究了一类带凹凸非线性项和变号位势的半线性椭圆方程问题，证明了该方 程正解的存在性和多重性．文献 [18]推广文献 [29]的多重性结果到P—Laplacian拟线性椭圆方程 上．更多相关结果参见 f2，8-9，12—14，22，2sJ． 近年来，有界域上具有凹凸非线性项的椭圆方程组正解的存在性和多重性问题已有许多研究 结果，相关文献有 1【，3，5，7，15，17，21]． 一 一 尤其，文献 [30]考虑了如下半线性椭圆方程组： △ △