Riesz表示定理.pdfVIP

表示定理的两种证明方法 贾超华 王永革 (北京航空航天大学数学与系统科学学院, 北京 100191) 摘要 本文给出Fr´echet-Riesz表示定理的两种证明方法, 一种利用Hilbert空间的正规正交基, 另一种是基于变分原理考察某个非线性泛函的极小点. 关键词 Hilbert空间 Fr´echet-Riesz表示定理 正规正交基 变分原理 中图分类号 引言 众所周知 表示定理是泛函分析中的一个基本定理 匈牙利数学家 在不假定空间是可分的条件下证明了该定理 并且他强调空间的整个理论可以 以他的表示定理为基础见第页 该定理也是数学专业本科生或非数学专业研究生《泛 ∗ 函分析》课程教学大纲中的必授内容 以下记为任意空间 表示其共轭空间或对 偶空间 表示定理表述为见第页 定理 表示定理 设f ∈ ∗ 则恰有一个z ∈ H 使f 可表为 f x x, z , ∀x ∈ , 并且∥f ∥ ∥z ∥ . 对于此定理的证明常见方法是通过f 零空间正交补中的元素构造满足的元素z 如 这种证明方法非常简洁 而且也凸现了此定理的几何意义 在实际教学中 同学们往往惊叹于定理及其证明的简洁与优美 但也对z 的构造方式感到困惑如 本文中 我们尝试从不同的角度给出表示定理的不同证明方法 以期帮助 同学加深对该定理的理解 利用正规正交基的证明 ∗ 我们知道 欧氏空间 上的有界线性泛函f ∈ 首先可以看作 到 的线性变换 那 么存在 × n矩阵即n维行向量A 不妨记A a , a , · · · , a 使得 f x Ax ∑ a x , ∀x x , x , · · · , x ∈ . 而且由不等式可知由所表示的线性泛函也的确满足有界性见第页 定义 即 ) ) ∑ ∑ ∑ |f x| a x ≤ a x . 另一方面 以{e } 表示 的常用正规正交基 在中取x e 可得a f e , i