Microsoft Word - 同伦替换doc - 北京工业大学.pdfVIP

1 6-2-6 基于同伦映射的根轨迹校正 由于控制系统动态性能的好坏完全取决于系统的闭环极点在 s 平面的位置，因此可以直 接确定满足系统动态性能的闭环极点来解决系统的校正问题。该方法是在同伦映射的基础 上，采用根轨迹作图的方法来实现闭环极点配置的。 同伦映射 对于任意 n 次多项式函数f (x) ，g (x) ，设定同伦变量 t，0 ≤t ≤1 ，则称下式 H (x ,t) t ⋅g (x) +(1−t) ⋅f (x) (6-24) 为f (x) 与g (x) 之间的一个同伦映射。 显然： （1）由于 ， 。当同伦变量 t 由0 连续变化到 1 时， H (x , t) t 0 f (x ) H (x ,t) t 1 g (x ) 则多项式函数f (x) 可以平滑地映射为另一个多项式函数g (x) 。 （2）任意满足 H (x ,t) 0 的 x 称为H (x ,t) 的零点，因此同伦变量 t 由 0 连续变化到 1 时，其零点是连续变化的，构成映射零点轨线。 （3）由于控制系统的根轨迹方程为 m ∏(s +z ) j K N (s) G s K j 1 g o ( ) g n −1 （6-25） D (s) s p ∏( + ) i i 1 因此有 K N (s) +D (s) 0 （6-26） g 因此，根轨迹方程为一同伦变量为K , K : 0 →∞的同伦映射，而根轨迹为该同伦映射的 g g t 零点轨线。而两个同伦变量的非线性变换为K 。 g 1−t 同伦不动点 同伦映射中，对于某一变量 xk ，如果满足 f (x ) g (x ) (6-27) k k 称同伦映射的不动点，简称同伦不动点。 显然，由根轨迹方程K N (s) +D (s) 0 ，其不动点s 必然满足K −1，也就是说根轨迹 g