chap3矩阵的初等变化.pdfVIP

第三章 矩阵的初等变换 本章通过引进矩阵的初等变换，建立矩阵秩的概念， 然后再利用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵和解线性 方程组。 3.1 初等变换与初等矩阵 3.2 矩阵的秩 3.3 线性方程组解的判定 3.1 初等变换与初等矩阵 下面三种变换称为矩阵的初等行变换： 1) 交换矩阵的两行(记为r ↔r ) ； i j 2) 以数k  0 乘矩阵的某一行所有元素(记作r ×k ) ； j 3) 把矩阵的某一行所有元素的k 倍加到矩阵的另一行的 对应元素上去(记作r + kr ) 。 i j 把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义 (所用记号是把“r”换成“c”) 。 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。 1 3.1 初等变换与初等矩阵 三种矩阵初等变换都可逆，且其逆变换是同一类型的初 等变换。变换r ↔r 的逆变换就是本身；变换r ×k 的 i j j 逆变换为r ×(1/k) ；变换r + k r 的逆变换为r k r 。 j i j i j 如果矩阵A 经过有限次初等变换变为矩阵B ，称矩阵 A 与矩阵B 是等价的，记为A B 。 矩阵的等价是一种关系，具有如下性质： 反身性：A A 对称性：A B ，则B A 传递性：A B ，B C，则A C 我们称满足上述三条性质的关系为等价关系。 3.1 初等变换与初等矩阵 定理1. 线性方程组的增广矩阵经初等行变换后对应的 线性方程组与原线性方程组同解。 2、初等矩阵 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 三类初等变换所对应的三类初等矩阵： E(i,j )互换矩阵E 的第i 行与第j 行(或第i 列与第j 列) ， E(i(k))将单位矩阵E 的第i 行(或第i 列)乘以非零常数k ； E(i,j (k))将单位矩阵E 的第j 行乘以非零常数k 加到第i 行的对应元素上去；或将单位矩阵E 的第i 列乘以 非零常数k 加到第j 列的对应元素上去。 2 3.1 初等变换与初等矩阵 1 … 1 0 … 1 1 E(i,j ) = … 1 1 0 1 … 1 3.1 初等变换与初等矩阵 1 … 1 E(i(k)) = k 1 … 1 1