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Ch 21 各种积分间的联系与场论初步
Ch 21 各种积分间的联系与场论初步 计划课时：8 时 P 335—372 2005. 11.15 . Ch 21 各种积分间的联系与场论初步 § 1 各种积分间的联系 1． Green 公式: 闭区域的正面与边界正向的规定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示区域的正面( 理 解为拇指“站立在” 区域的正面上 ), 则其余四指( 弯曲 )表示边界的正向. 右手螺旋 定向法则还可表述为: 人站立在区域的正面的边界上, 让区域在人的左方. 则人前进的方 向为边界的正向. 若以 L 记正向边界, 则用—L 或 L − 表示反向（或称为负向）边界. Th22.3 若函数 P 和 Q 在闭区域 D ⊂R 2 上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则有 ⎛∂Q ∂P ⎞ ⎜ ⎟ − dxdyPdx+ Qdy , ∫∫⎜ ⎟ ∫ x y L D ⎝∂ ∂ ⎠ 其中 L 为区域D 的正向边界. ( 证 ) [1]P373 ∂ ∂ Green 公式又可记为 x ∂y ∂ dxdyPdx+ Qdy . ∫∫ ∫ L P D Q 2 ．应用举例: 对环路积分, 可直接应用 Green 公式. 对非闭路积分, 常采用附加上一条线使变成环路 积分的技巧. 例1 计算积分 xdy , 其中A B . 曲线AB 为圆周 ∫ ( 0 , ) , r( , 0 ) r AB x 2 y 2 =+ r 2 在第一象限中的部分. π 解法一 ( 直接计算积分 ) 曲线AB 的方程为 . cos , sin , 0 x r t y r t t ≤ ≤ 2 方向为自然方向的反向. 因此 2 π 2 1 2 ⎛ 1 ⎞ π π 2
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