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第1章 实数集与函数 §1.1 实 数 集 §1.2 函 数 1 1.1 实数集 1.1.1 实数集及其性质 有理数可用分数形式 p （ 也可用有 p、q为整数，q≠0）表示， q 限十进小数或无限十进循环小数来表示；而无限十进不循环小 数则称为无理数. 有理数和无理数统称为实数. 规定 对于正有限小数（包括正整数）x ，当 x a .a a a 时，其中 0 a 9, i 1, 2, n, an 0 0 1 2 n i a0 为非负整数， 记 x a .a a (a 1)999 9 , 0 1 2 n 而当 x a 为正整数时， x (a 1).999 9, 0 则记 0 2 例如 2.001 记为 2.000 999…；对于负有限小(包括负数) y ， 再在所得无限小数之前加负号. 则先将 -y 表示为无限小数， 例如 -8 记为 -7.999 9… ； 又规定数 0 表示为 0.0000…. 于是，任何实数x 都可用一个确定的无限小数来表示: x a .a a a , 0 1 2 n 其中 a0 为整数， 0≤an ≤9 (n=1,2…)为整数. 3 实数的性质： 1) 实数集R 对加、减、乘、除(除数不为0) 四则运算是封闭的， 即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数. 2) 实数集是有序的，即任意两实数a、b必满足下述三个关系 之 一： a＜b, a ＝b, a ＞b. 3) 实数的大小关系具有传递性， ＞c，则有a ＞c . 即若a ＞b, b 4) 实数具有阿基米德(Archimedes)性， 即对任何 a, b R, 若b ＞a ＞0，则存在正整数 n ，使得 na ＞b. 5) 实数集R具有稠密性， 即任何两个不相等的实数之间必有另 一个实数，且既有有理数，也有无理数. 4 6 ）实数集具有完备性 （连续性），即任一实数都对应数轴上唯 一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数.于 是，实数集 R 与数轴上的点有着一一对应关系. 以后的叙述中，常把“实数a ”与“数轴上的点a ”这两种说法看 作具有相同的含义. 设a、b ∈R ，证明：若对任何正数 有a＜b+  , 例1 则a