初中数学平面几何之中点.docVIP

初中数学平面几何之------中点 口诀三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。一、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。 例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。解：因为AD是ΔABC的中线，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中线，故SΔCDE=SΔACD=1，因DF是ΔCDE的中线，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。ΔCDF的面积为。二、由中点应想到利用三角形的中位线例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：BGE=∠CHE。证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，ME是ΔBCD的中位线，MECD，MEF=∠CHE，MF是ΔABD的中位线，MFAB，MFE=∠BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=∠MFE，从而BGE=∠CHE。 （三、由中线应想到延长中线例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。在ΔACD和ΔEBD中，AD=ED，ADC=∠EDB，CD=BD，ΔACD≌ΔEBD，AC=BE，从而BE=AC=3。在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90°，BD===，故BC=2BD=2。例4．如图5，已知ΔABC中，AD是BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。证明：延长AD到E，使DE=AD。仿例3可证： ΔBEDΔCAD， 故EB=AC，E=∠2， 又1=∠2，1=∠E， AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。四、直角三角形斜边中线的性质例5．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，ACBC，ADBD，求证：AC=BD。证明：取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtΔABD，RtΔABC斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此CDE=∠DCE。AB//DC， CDE=∠1，DCE=∠2， 1=∠2，在ΔADE和ΔBCE中， DE=CE，1=∠2，AE=BE，ΔADE≌ΔBCE，AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。中线延长三角形中有中线，延长中线等中线。 BD=CD（中点定义） ∠1=∠5（对顶角相等） ED=MD（辅助线作法） ∴△BDE≌△CDM（SAS） 又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知） ∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定义） ∴∠3+∠2=90° 即：∠EDF=90° ∴∠FDM=∠EDF=90° 在△EDF和△MDF中 ED=MD（辅助线作法） ∠EDF=∠FDM（已证） DF=DF（公共边） ∴△EDF≌△MDF（SAS） ∴EF=MF（全等三角形对应边相等） ∵在△CMF中，CF+CMMF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE+CFEF 上题也可加倍FD，证法同上。 注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。 例二：如图5-1：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC2AD。 分析：要证AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去 证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE ∵AD为△ABC的中线（已知） ∴BD=CD（中线定义） 在△ACD和△EBD中 BD=CD（已证） ∠1=∠2（对顶角相等） AD=ED（辅助线作法） ∴△ACD≌△EBD（SAS） ∴BE=CA（全等三角形对应边相等） ∵在△ABE中有：AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边） ∴AB+AC2AD。 练习： 1 如图，AB=6，AC=8，D为BC 的中点，求AD的取值范围。 2 如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE。 3 如图，AB=AC，AD=AE，M为BE中点，∠BAC=∠DAE=9