图形设备系统和应用.DOC

图形变换 数学基础 矢量运算 矩阵运算 由m×n个数按一定位置排列的一个整体，简称m×n矩阵。其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素; 设一m行，n列矩阵A： 正方阵:m = n M = 1:行向量 N = 1:列向量 两个矩阵相等：行数、列数均相等，且对应元素也相等； 1）矩阵加法：设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵; 2）数乘矩阵：用数k乘矩阵A的每个元素而得到的矩阵；记为：kA或Ak; 3)矩阵的乘法运算：设 则： 注：只有前一个矩阵的列数等于后一矩阵的行数时才能相乘；  4）零矩阵的运算：矩阵中所有的元素均为零； 5）单位矩阵：主对角线各元素等于1,其余皆为0的矩阵。 n阶单位矩阵通常记作： ，对于任意矩阵 6）逆矩阵：若矩阵A存在 ，则称A-1为A的逆矩阵； 设A为一个n阶矩阵，如有n阶矩阵B存在，且： 则说明A是一个非奇异矩阵，B是A的逆。如果上式不存在，则A是一个奇异矩阵。 由于A、B处于对称地位，因此当A非奇异时，B也非奇异，而且A也是B的逆，即A，B互为逆；如： 7）转置矩阵： 行列互换：把矩阵A=(aij)m×n的行和列互换而得到的n×m矩阵称为A的转置矩阵,记作AT 。 转置矩阵性质： 1） (AT)T = A 2） (A+B)T = AT + BT 3） (aA)T = aAT 4）(A·B)T = BT ·AT 对称矩阵：原矩阵等于其转置矩阵； 8）矩阵运算的基本性质： 1)加法适合交换律与结合律： A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+C 2）数乘适合分配律和结合律： a(A+B) = aA+aB; a(A · B) = (aA) ·B=A ·(aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A 3）矩阵的乘法适合结合律及分配律： A(B ·C) = (A ·B)C (A+B) · C = A · C+ B · C C ·(A+B) = C ·A + C · B 4）矩阵的乘法不适合交换律： （1）当A，B可以相乘，如A，B不是方阵，则B，A不可相乘； （2）即使A，B均为方阵，一般情况下，AB和BA也不相等：如 齐次坐标 定义:n+1维向量表示一个n维向量。如n维向量(P1,P2, … ,Pn)表示为（hP1,hP2,(hPn,h），其中 h称为哑坐标; 1、h可以取不同的值－》同一点的齐次坐标不是唯一的。如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。 2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”, 由普通坐标(h→齐次坐标 由齐次坐标÷h→普通坐标 3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标 定义(Cont.): (x,y)点对应的齐次坐标为： 由(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线 齐次坐标的优越性: 1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。 2. 便于表示无穷远点。 例如：（x ( h, y ( h, h)，令h等于0 3. 变换具有统一表示形式的优点 便于变换合成 便于硬件实现 窗口视图变换 用户域和窗口区 用户域：程序员用来定义草图的整个自然空间(WD)： 人们所要描述的图形均在用户域中定义。 用户域是一个实数域，理论上是连续无限的。 窗口区：用户指定的任一区域(W) 窗口区W小于或等于用户域WD； 小于用户域的窗口区W叫做用户域的子域。 窗口可以有多种类型，矩形窗口、圆形窗口、多边形窗口等等； 窗口可以嵌套，即在第一层窗口中可再定义第二层窗口，在第I层窗口中可再定义第I+1层窗口等等。 屏幕域和视图区 屏幕域(DC)：设备输出图形的最大区域，是有限的整数域。 如图形显示器分辨率为 1024?768→DC[0..1023]?[0..767] 视图区：任何小于或等于屏幕域的区域； 视图区用设备坐标定义在屏幕域中 窗口区显示在视图区，需做窗口区到视图区的坐标转换。 视图区可以有多种类型：圆形、矩形、多边形等。 视图区也可以嵌套。 屏幕域和视图区的坐标转换 设窗口的四条边界WXL,WXR,WYB,WYT 视图的四条边界VXL,VXR,VYB,VYT 则用户坐标系下的点（即窗口内的一点）(Xw,Yw)对应屏幕视图区中的点（Xs,Ys），其变换公式为: 化简为： 屏幕域和视图区的坐标变换（Cont.） 1) 当a ( c时，即x 方向的变化与y方向的变化不同时，视图中的图形会有伸缩变化，图形变形。 2) 当a=c=1，b=d=0则Xs=Xw,Ys=Yw,图形完全相同。 思考：前面