蒙特卡罗法的应用.pdfVIP

第三章 蒙特卡洛方法的若干应用 蒙特卡洛方法是利用随机变量的一个数值序列来得到特定 问题的近似解的数值计算方法。 蒙特卡洛方法的应用可以大致分为两类：第一类是所求问题 具有严格确定的数学形式，另一类是本身就是具有统计性质的问 题。 3. 1 蒙特卡洛方法在积分计算中的应用 一、一维定积分计算的平均值法（期望值估计法）。 一维积分计算 1 I ∫f (x )dx, 0 ≤x ≤1 ，0 ≤f (x ) ≤1. 0 在x 的定义域[0，1]上均匀地随机取点，该均匀分布的随机变量 记为ξ 。我们定义一个随机变量η 为 1 η f (ξ) . 1 则显然有 { } { } . E η E f (ξ) I 1 η1 的期望值等于积分值I 。只要抽取足够多的随机点，即取随机 点数n 足够大时， 的平均值 f (ξ) 1 n I ∑f (ξ ) n i n i 1 就是积分I 的一个无偏估计值。 η 的方差。 1 2 1 { } . V η1 ∫[f (x ) −I ]dx 0 显然 依赖于被积函数f x 在积分域上的方差。当 在x 的定 { } ( ) f (x) V η1 义域内变化平坦，即和I 的差处处都较小时，方差也小；反之， 则方差较大。 y 1 f(x) I 0 1 x y 1 f(x) I 0 1 x 从这里可以看出：尽量减小被积函数在积分域上的方差，可以减 小积分估计值的方差，加速收敛。推而广之来说，就是要减少模 拟量在模拟范围内的方差。 根据这样的原则，当被积函数 在积分域内的方差较大时， f (x ) 可以采用各种抽样技巧。如采用重要抽样法，将 的方差吸收 f (x ) 到g (x) 中去，这样模拟量—记录函数f * (x ) f (x ) / g (x ) 在定义域内相 当平坦，则我们将(3.1.1)式的计算变为 1 1 f (x ) 1 * I f x dx ( ) g x dx f x g x dx ∫ ∫