向量和向量法.docVIP

AFEBCDA1B1C1D1例题1：如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD＝2DC＝2，E为BD1的中点，F为AB的中点.(1)求证：EF∥平面ADD1A1；(2)若BB1＝ EQ A F E B C D A1 B1 C1 D1 AFEBCDA1B1C1D1xyzG解析：(1)连结AD1，在△ABD1中，∵E、F分别是BD1、AB的中点，∴EF∥AD1.又EF?平面ADD1A1∴EF∥平面ADD1A1(2)建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz(DG是AB边上的高)则有A1( EQ \f(\r(3),2)，－\f(1,2)，\f(\r(2),2))，F( EQ \f(\r(3),2)，\f(1,2)，0)D1(0，0， EQ \f(\r(2),2))，B( EQ \f(\r(3),2)，\f(3,2)，0)∴E( EQ \f(\r(3),4)，\f(3,4)，\f(\r(2),4))设平面DEF的法向量为 EQ \o(n,\s\up5(→))＝(x，y，z)则 EQ \b\lc\{(\a\al(\o(n,\s\up5(→))·\o(DE,\s\up5(→))＝0,\o(n,\s\up5(→))·\o(DF,\s\up5(→))＝0))? EQ \b\lc\{(\a\al(\f(\r(3),4)x＋\f(3,4)y＋\f(\r(2),4)＝0,\f(\r(3),2)x＋\f(1,2)y＝0))解得y＝－ EQ \r(3)x，z＝ EQ \r(6)x取非零法向量 EQ \o(n,\s\up5(→))＝(1，－ EQ \r(3)， EQ \r(6))∴A1F与平面DEF所成的角即是 EQ \o(A1F,\s\up5(→))与\o(n,\s\up5(→))所成锐角的余角由cos EQ \o(A1F,\s\up5(→))，\o(n,\s\up5(→))＝ EQ \f(\o(A1F,\s\up5(→))·\o(n,\s\up5(→)),|\o(A1F,\s\up5(→))|·|\o(n,\s\up5(→))|)＝ EQ \f(0×1＋1×(－\r(3))＋(－\f(\r(2),2))×\r(6),\r(\f(3,2))·\r(10))＝－ EQ \f(2\r(5),5)∴A1F与平面DEF所成角的大小为 EQ \f(π,2)－arccos EQ \f(2\r(5),5)，即arcsin EQ \f(2\r(5),5). A F E B C D A1 B1 C1 D1 x y z G 点评：立体几何中，二面角问题几乎每年必考，几何法也有很多解决方法，如直接法、垂面法、三垂线法、面积射影法等等，这些方法都离不开严密的逻辑证明.而向量法则以算代证，从一定程度上减轻了对逻辑思维的要求，但也应该注意到，向量法计算较为烦琐，运算量较大，必须小心谨慎，否则也极易出现差错. 例题2.如图，在四棱锥E－ABCD中， AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE， AB＝BC＝CE＝2CD＝ 2, ∠BCE＝1200． (1)求证：平面ADE⊥平面ABE ； (2)求点C到平面ADE的距离. 解:取BE的中点O,连OC. xyzO∵BC＝CE, ∴OC⊥BE.又AB x y z O 以O为原点建立空间直角坐标系O－ｘｙｚ如图， 则由已知条件有:,, , (1).设平面ADE的法向量为ｎ=， 则由ｎ· 及ｎ· 可取ｎ 又AB⊥平面BCE. ∴AB⊥OC.OC⊥平面ABE ∴平面ABE的法向量可取为m＝. ∵ｎ·m·＝0, ∴ｎ⊥m∴平面ADE⊥平面ABE. ⑵.点C到平面ADE的距离为 AA1B1C1ED1FDCB例题3.如图：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，棱长AA1＝a.(1)证明：AD⊥D1F；(2)求AE与D1F所成的角；(3)求四面体A1D1EF的体积。解法一：设基底{ EQ \o(DA,\s\up5(→))，\o(DC,\s\up5(→))，\o(DD1,\s\up5(→))}∵ ABCD－A1B1C1D1是正方体，棱长为a∴ EQ |\o(DA,\s\up5(→))|＝|\o(DC,\s\up5(→))|＝|\o(DD1,\s\up5(→))|＝a且 EQ \o(DA,\s\up5(→))·\o(DC,\s\up5(→))＝0,\o(DA,\s\up5(→))·\o(DD1,\s\up5(→))＝0,\o(DC,\s\up5(→))·\o(DD1,\s\up5(→))＝0 EQ \o(DF,\s\up5(→))＝\o(DF,\s\up5(→))－\o(DD1,\s\up5(→))＝\f(1,2)\o(