三次函数图像性质与实根分布问题初探.docVIP

三次函数的图像性质和实根的分布问题 一、三次函数的图像和基本性质 设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，f(x)的导数f (x)=3ax2+2bx+c，导函数判别式Δ=4（b2-3ac)，当Δ0时记f (x)=0的两根为x1和x2，且x1x2性质及图像如下表 当a0时 b2≤3ac b23ac f(x1)0且f(x2)0 f(x1)f(x2)0 函数单调递增， y0x y 0 x y0x y 0 x x0y x 0 y y0 y 0 x 当a0时 b2≤3ac b23ac f(x1)0且f(x2)0 f(x1)f(x2)0 函数单调递减， x0y x 0 y x0y x 0 y x0y x 0 y 函数有两个极值点，一个零点 x0 x 0 y 由上表可以推导出其他主要性质： 1、对称中心为点 2、在R 上依次有三个单调区间的充要条件是b2- 3ac0. 3、若b2- 3ac≤0, 则ax3+bx2+cx+d=0 方程有且仅有一个实根 4、三次方程ax3+bx2+cx+d=0 有三个互不相同实根的充要条件是: |b3- 9abc+27a2d|2( b2- 3ac) +b3 二、三次函数根的分布例说 例1、若三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，在区间（m，n)有三个不等实数根求各项系数满足的充要条件。 设y=f(x)的导数f (x)=3ax2+2bx+c的判别式Δ=4（b2-3ac)，当Δ0时记 f (x)=0的两根为x1和x2，且x1x2则满足： 例2、若三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，在区间（m，n)有且仅有一个实数根(重根不计），求各项系数满足的充要条件。 设y=f(x)的导数f (x)=3ax2+2bx+c的判别式Δ=4（b2-3ac)，当Δ0时记 f (x)=0的两根为x1和x2，且x1x2则满足： 练习 1.（2000年春季高考题）已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（ ） A .b∈（-∞，0） B.b∈（0，1） C .b∈（1，2） D. b∈（2，+∞） 2、已知函数满足（其中为在点处的导数，为常数）． （1）求函数的单调区间； （2）若方程有且只有两个不等的实数根，求常数； （3）在（2）的条件下，若，求函数的图象与轴围成的封闭图形的面积．