《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2第三章数系扩充和复数 习题课.docVIP

习题课 一、基础过关 1．复数eq \f(1,－2＋i)＋eq \f(1,1－2i)的虚部是 (　　) A.eq \f(1,5)i B.eq \f(1,5) C．－eq \f(1,5)i D．－eq \f(1,5) 2．复数eq \f(2＋i,1－2i)的共轭复数是 (　　) A．－eq \f(3,5)i B.eq \f(3,5)i C．－i D．i 3．若(m2－5m＋4)＋(m2－2m)i0，则实数m的值为 A．1 B．0或2 C．2 D．0 4．设a，b∈R且b≠0，若复数(a＋bi)3是实数，则 (　　) A．b2＝3a2 B．a2＝3b2 C．b2＝9a2 D．a2＝9b2 5．设i是虚数单位，复数eq \f(1＋ai,2－i)为纯虚数，则实数a为 (　　) A．2 B．－2 C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2) 6．复平面内点A、B、C对应的复数分别为i、1、4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则|eq \o(BD,\s\up6(→))|等于 (　　) A．5 B.eq \r(13) C.eq \r(15) D.eq \r(17) 二、能力提升 7．已知复数z＝eq \f(2－i,1－i)，其中i是虚数单位，则|z|＝______. 8．已知(a－i)2＝2i，那么实数a＝________. 9．设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2eq \r(2)＋i|的最大值是________． 10．已知a∈R，则z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹是什么 11．设复数z＝eq \f(?1＋i?2＋3?1－i?,2＋i)，若z2＋a·z＋b＝1＋i，求实数a，b的值． 12．在复平面内，O是原点，向量eq \o(OA,\s\up6(→))对应的复数是2＋i. (1)如果点A关于实轴的对称点为B，求向量eq \o(OB,\s\up6(→))对应的复数； (2)如果(1)中点B关于虚轴的对称点为C，求点C对应的复数． 三、探究与拓展 13．是否存在复数z，使其满足eq \x\to(z)·z＋2ieq \x\to(z)＝3＋ai？如果存在，求实数a的取值范围；如果不存在，请说明理由． 答案 1．B　2．C 3．D　4．A　5．A　6．B　 7.eq \f(\r(10),2) 8．－1 9．4 10．解　由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3， －(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1， ∴复数z的实部为正数，虚部为负数， ∴复数z的对应点在第四象限． 设z＝x＋yi (x、y∈R)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝a2－2a＋4，,y＝－?a2－2a＋2?))消去a2－2a得：y＝－x＋2 (x≥3)． ∴复数z的对应点的轨迹是一条射线，方程为y＝－x＋2 (x≥3)． 11．解　z＝eq \f(?1＋i?2＋3?1－i?,2＋i)＝eq \f(2i＋3－3i,2＋i) ＝eq \f(3－i,2＋i)＝eq \f(?3－i??2－i?,5)＝1－i. 因为z2＋a·z＋b＝1＋i， 所以(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i. 所以(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i. 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,－?a＋2?＝1，))解得a＝－3，b＝4. 即实数a，b的值分别是－3,4. 12．解　(1)设所求向量eq \o(OB,\s\up6(→))对应的复数为z1＝a＋bi(a，b∈R)，则点B的坐标为(a，b)． 已知A(2,1)，由对称性可知a＝2，b＝－1. 所以eq \o(OB,\s\up6(→))对应的复数为z1＝2－i. (2)设所求点C对应的复数为z2＝c＋di(c，d∈R)，则C(c，d)． 由(1)，得B(2，－1)． 由对称性可知，c＝－2，d＝－1. 故点C对应的复数为z2＝－2－i. 13．解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则原条件等式可化为x2＋y2＋2i(x－yi)＝3＋ai. 由复数相等的充要条件，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2y＝3，,2x＝a.)) 消去x，得y2＋2y＋eq \f(a2,4)－3＝0.所以当Δ＝4－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)－3))＝16－a2≥0，即－4≤a≤4时，复数z存在． 故存