固体物理期末复习～例题.pptVIP

* 例1．倒格子的变换 Fcc正格子的基矢 a1 = ? a(y +z), a2 = ? a(z + x), a3 =? a(x+y) 元胞的体积 Vc = a1?a2×a3 = ? a3 倒格子的基矢 b1 = 2? a2×a3/ ? a3 = 2? ? a2(z×x+z×y+x×x+x×y)/ ? a3 = 2? /a (– x + y + z) Bcc的正格子基矢 HCP正格子的基矢 a1 =3?a/2 x+a/2y, a2 = –3?a/2 x+a/2y, a3 =c z 倒格子的基矢 b1 =2?/3?a x+ 2?/a y, b2 = –2?/3?a x+ 2?/a y, b3 = 2?/z x y z Bcc的倒格子基矢 例2．设原子间的相互作用势能可以表示为 U(r) = –?/rm + ?/rn (?, ? 0) 试证明要使这两个原子的系统处于稳定平衡态，必须有 n m. 解： 由系统处于稳定态平衡的条件： ?U(r)/?r = 0 得平衡时原子间距 r0 =(?m / ?n)n–m 由势能最小的条件： ?2U(r)/?r2 |r0 0 –m(m+1)?/rm+2 + n(n+1)?/rn+2 |r0 0 n/m n(n+1)/m(m+1) m n 离子晶体的情形，离子间的互作用势为库仑势，因此 m = 1 例3．试证明由N个原子组成的一维布拉菲晶格，原子质量为m， 每单位频率间隔的震动方式为 ?(?)= 2N/?(4?/m2??2)1/2 解： 单原子链长 L = Na, 由周期边界条件 U(x+L) = U(x) 有eiqL = 1 即　qL = qNa = 2?P (P为整数)，q 的N个值位于 –?/a?q??/a 　dq间隔内的震动模数　f(q)dq = N/(2?/a) dq 　由?(q)的奇偶性 ?(q) = ?(–q) 　　 D(?)d? = 2 N/(2?/a) dq＝ (Na/? d?)/(d?/dq) 　　当q = ±N/a时， ?＝ (4?/m)1/2= ?0 　　　　 d?/dq＝ ?0２a/4? sin qa = ?0２a/4? (1–cos qa)1/2 　　　　　 ＝ ?0２a/4? (1–?2/?0２ )1/2 2?/?0 　　　 D(?)d?＝ 2N/?(?02–?2)1/2 d? ?＝ (4?/m)1/2|sin qa/2|, ?2＝ (4?/m)1/2|1–cos qa| 2?d?＝ (2?/m) a|sin qa dq, d?/dq＝ 1/2? (2? a /m) sin qa 例4．限制在边长为L的正方形势井中的N个二维自由电子其能量 为 E(kx,ky)=?2/2m (kx2+ky2) 试求能量在E ~ E+dE 间的状态数及费米能级． 解： 由二维自由电子气的周期边界条件有：kx= 2?nx/L, ky= 2?ny/L k空间一个状态点占有的面积为　?S = (2?)2/L2 k空间的态密度为　D = 2/ ?S = L2/ 2?2 Ek ~ Ek+dE 间的状态数dN k空间半径为k的圆面积　S＝ ?k2 = ?(2m/?2) Ek Ek ~ Ek+dE 间的面积　dS = ?(2m/?2) dE dN = L2/ 2?2 dS = mL2/ ??2dE N个二维自由电子的费米能级　N = ?0EFf mL2/ ??2dE EF = N ??2 / mL2 例5．一维布拉菲格子的的s态的电子能量为E(k)=?0–J0 – 2J1cos ka 求：1.能带宽度, 2.在能带顶的有效质量, 3. k=?/a时的电子速度 解： 因为–１? cos ka ? 1，所以 Emax=E|cos ka= –1= ?0–J0 + 2J1 Emin=E|cos ka= 1= ?0–J0 – 2J1 能带宽度　?E = Emax – Emin= 4J1 能带顶　 cos ka ＝–１ 能带顶的有效质量　m* = ?2 /(?2E/ ?2k)|cos ka = –１＝ –?2 / 2J1a2 电子速度　v=1/? ?E/ ?k = 1/? 2J1sin ka 　 k=?/a时电子速度：因为 sin(?/a) a = 0，所以v| k=?/a =０ 例6. 求二维正方晶体倒空间状态密度和能态密度函数 L L 由边界条件 得 每个倒格点占有的面积 倒空间状态密度 倒空间的等能面 k~k+dk圆环的面积 二维晶格的能态密度 k~k+dk