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第一节　数学思维概述 一、思维及其特征 注意：概括性和间接性是密切相关的 二、数学思维及其特征 四、数学思维的结构 第二节 数学思维的基本类型 一、数学逻辑思维 二、数学形象思维 （2）想象 问题：学生在数学学习中的想象，属于再造性想象还是创造性想象？ 三、数学直觉思维 1．数学直觉思维的概念 2、数学直觉思维的特征 3．数学直觉思维的基本形式 数学直觉和数学灵感的关系： 总 结 作业 分析2 仔细分析这个题目，发现它有两个本质特征：一是不论 二、思维的广阔性 解法一：用可分离变量法 三、思维的灵活性 四、思维的批判性 五、思维的独创性 作业 证法2 注意 都是正数，且， 运用三角代换法：设 其中 。则 注意结论 ，运用几何知识去证： 在直径为1的圆O内作内接四边形ABCD，如图 令 。 根据托勒密定理得 。 上述证明，沟通了代数、几何、三角的有关知识，体现了殊途同归的特点，进行这样的训练，对于开阔学生的思路，活跃学生的思维是十分有益的。 证法3 思维的广阔性表现了一种很好的方法或理论，能从多方面设想，探求这种方法或理论适用的各种问题，扩大它的应用范围。数学中的待定系数法、判别式法、换元法、数形结合法、构造法等等在各类问题中的应用就是如此 思维的广阔性还表现在不但能研究问题本身，而且又能研究有关的其他问题。教师可以从某些熟知的数学问题出发，提出若干富于探索性的新问题，让学生凭借他们已有的知识和技能，去探索数学的内在规律性，从而获得新的知识和技能，并扩大视野 例4 求证： 证过此题后，教师可引导学生深入观察，探索以 下问题是否成立？ ①设等差数列 其中 皆为正数， 求证: ②设等比数列 其中 为正数，求证: 通过验证①成立，②在 时也成立。 思维的灵活性，即思维的灵活程度，是指能依据客观条件的变化及时调整思维的方向。数学思维活动中，表现为能对具体的数学问题作具体分析，善于根据情况的变化，及时调整原有的思维过程与方法，灵活地运用有关的定理、公式、法则，并且思维不囿于固定程式或模式，具有较强的应变能力。 数学思维的灵活性是指能够根据题设条件或结论的变化及时调整思维方向，善于发现新的条件和新因素，能及时改变原定方案，及时修正思考路线,并能从固定解法的束缚下解脱出来。 思维的灵活性是数学思维的重要品质，它与思维深刻性的结合，构成了思维的机智与敏捷，常常可导致发明和创造。 数学思维灵活性的特点是:思维起点灵活，即能从不同角度、方向来思考问题；思维过程灵活，能从分析到综合，从综合到分析全面运用自如的作“综合和分析”;思维结果灵活，往往是多种合理的结论。 例5 试比较 的大小 分析 按照常规方法，先通分变为同分母的分数后，再比较分子的大小。而分母的最小公倍数很大，运算繁琐。调整思维方向，通过仔细观察，不难发现分子的最小公倍数是60，先变成分子相同，然后再比较分母的大小，问题会很快得到解决。 例6 已知 ，求多项式 的值。 解 由 ，有 ， 两边平方可化成 用综合除法可知 根据例6给出的题型，把 的值代入多项式去计算是正常的思路，但本题若按常规直接代入是难以计算的。上述解法中，把 的值转化成 的二次三项式的值，由个体的值变成群体的值，然后把多项式从整体上进行分解，析出包含所得二次三项式的成分，而计算则用整体代入。这种计算方法充分表现出思维的灵活性 例7 已知 ，解关于 的方程 分析 用常规方法解此四次方程比较困难。调整思维方向，发现方程中 的最高次数是2，可把已知与未知作一转化，整理出关于 的二次方程，问题易于解决。 解 原方程化为关于 的二次方程 解得 因为 ，所以原方程的根