第二节 数列的极限学生版.pptVIP

例 证明 例 证明 其中 注意: 例 用数列极限定义证明 例 设 且 求证 例 证明数列 是发散的. 三、收敛数列的性质 定理1 收敛数列的极限是唯一的. 惟一性的几何解释 属于两个不交的集合 定义 对数列 若存在正数 使对一切自然数 恒有 则称数列 有界, 否则, 称为无界. 定理2 收敛的数列必定有界. 定理3(收敛数列的保号性) 若 且 (或 ), 则存在正整数 当 时, 都有 (或 ). 推论 若数列 从某项起有 (或 且 则 (或 定义 在数列 中任意抽取无限多项 项在原数列 中的先后次序, 这样得到的一个数 列 称为原数列 的子数列 (或子列). 注: 是 中的第 项, 是原数列 中第 项, 并保持这些 定理4(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列 收敛于 那么它的任一子数列也收敛, 且极限 也是 n f(n) 0 A N 1 2 3 N+1 N+2 . 注意: 截丈问题： 一尺之棰, 日截其半, 万世不竭. 第一章 函数与极限 第二节 数列的极限 极限概念的引入 截丈问题: 一尺之棰, 日截其半, 万世不竭. 庄子 截丈问题： 一尺之棰, 日截其半, 万世不竭. 二、数列的定义 定义 按一定次序排列的无穷多个数 称为无穷数列, 简称数列. 可简记为 其中的每个 数称为数列的项, 称为通项(一般项). 例如: 数列的定义 注: 1. 它在数轴上依 次取值 2. 数列可看作数轴上一个动点, 的函数: 数列可看作自变量为正整数 问题: ①是否所有的数列 ，当 无限增大时都无限接近于某一确定的数值? 播放 问题: ③ 如果是“无限接近”一数值，如何确定此值？ ② “无限接近”，意味着什么?如何用数学语言刻划它？ 我们需要两个要素帮助刻画： ①“无限接近”是“想有多接近就有多接近” ②这一接近是数列发展的统一趋势 数列的极限 定义 若对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在正整数 使得对于 时的一切 不等式 都成立, 则称常数 是数列 的极限, 或称数列 收敛于 记为 或 如果数列没有极限, 就说数列是发散的. 数列的极限 定义: N - e 使当 时, 记号: --- 存在. 对每一个或任给的; --- 定义 若对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在正整数 使得对于 时的一切 不等式 都成立, 则称常数 是数列 的极限, 或称数列 收敛于 记为 或 , lim a x n n = ￥ ? 注意: 定义中的 与任意给定的正数 有关. 当 x = n, 则 相应的点都落 在绿色区域内 n f(n) 0 A N 1 2 3 N+1 N+2 数列的极限 对一切 n N ?自然数 N ?A的?邻域 当 x = n, 则 n f(n) 0 A N 1 2 3 N+1 N+2 数列的极限 . 相应的点都落 在绿色区域内 对一切 n N ?自然数 N ?A的?邻域 当 x = n, 则 n f(n) 0 A N 1 2 3 N+1 N+2 数列的极限 . 相应的点都落 在绿色区域内 对一切 n N ?自然数 N ?A的?邻域 当 x = n, 则 n f(n) 0 A N 1 2 3 N+1 N+2 . 相应的点都落 在绿色区域内 对一切 n N ?自然数 N ?A的?邻域 数列的极限 当 x = n, 则 n f(n) 0 A 1 2 3 N N N N N N+1 N+2 . 相应的点都落 在绿色区域内 对一切 n N ?自然数 N ?A的?邻域 数列的极限 例 设 为常数), 证明