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第二讲 线性变换及其矩阵
第二讲 线性变换及其矩阵
一、线性变换及其运算
1. 定义 设 V 是数域K 上的线性空间，T 是 V 到自身的一个映射，若V,均存在唯一
的 V 与之对应，则称T 为 V 的一个变换 （或算子），记为 称 为 在变换
T() .
T 下的象， 为 的原象。
若变换T 还满足, V, k, lK,有T(k l) kT() lT().则称T 为线性变换。
x
例1 （1）二维实向量空间 将其绕原点反方向旋转 角的变换为线性变换。
2 1
R x ,x R
1 2
x
2
(2) 次数不超过n 的全体实多项式Pn 构成实数域上的一个n+1 维的线性空间，其基可选为
2 n ，微分算子 d 是 上的一个线性变换。
1,x ,x , ,x D P
n
dx
2. 性质 （1）T() T(0) 0T() .
（2 ）T() (1)T() T().
（3 ）线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组。
注：线性无关的元素组经线性变换不一定再是线性无关的。
3. 线性变换的运算
(1) 恒等(单位)变换 ； (2)零变换 ；
T T
e 0
(3) 变换的相等T T ；(4) 线性变换的和T T
1 2 1 2
(5) 线性变换的数乘 ；负变换；
kT
(6) 线性变换的乘积T T ；(7) 逆变换T 1
1 2
(8) 线性变换的多项式：Tn T T T ，规定T0 T ；
e
n个
m
m m
若纯量x 的多项式f (x ) a x k ，则f (T ) a T k ，f (T )() a T k () .
k k k
k 0
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